Volume del tronco di piramide

In questo appunto di geometria solida si parla del tronco di piramide di come calcolare il suo volume. Quando pensiamo alle piramidi la prima cosa che ci viene in mente sono i monumentali edifici costruiti per gli antichi faraoni egizi a scopo funerario. Strutture affascinanti e ancora piene di mistero sulle tecniche di realizzazione. Le piramidi di Giza sono tutte piramidi regolari a base quadrata. La forma piramidale nell’architettura è ancora attuale come dimostra l’ingresso del museo del Louvre di Parigi. Vediamo in questo appunto le caratteristiche di questo solido a punta e in particolare il tronco di piramide.

Piramide, una parte di angoloide

In geometria solida si chiama piramide la parte di angoloide compresa fra il suo vertice e un piano che interseca tutti i suoi spigoli.
L’angoloide è il corrispondente nello spazio dell’angolo nel piano. Sia V un punto dello spazio, se da esso tracciamo 2 semirette, necessariamente complanari, abbiamo individuato i due angoli che si trovano nel piano contenente entrambe le semirette, uno convesso e l’altro concavo.
Se da questo vertice V tracciamo tre semirette, non complanari, abbiamo costruito un angoloide. Ogni coppia di rette forma un angolo piano e i tre angoli piani sono a due a due consecutivi e non complanari, la regione di spazio delimitata da questi tre angoli è appunto l’angoloide. Gli spigoli dell’angoloide sono le semirette uscenti dal vertice V, gli angoli aventi vertice V e per lati due spigoli consecutivi, sono le facce dell’angoloide. In particolare un angoloide con tre spigoli si chiama triedro. Gli angoloidi sono figure convesse.
Se tagliamo un angoloide con un piano che non contiene il suo vertice e nessuno degli spigoli, otteniamo un poligono che si chiama sezione dell’angoloide. Costruendo due sezioni parallele dello stesso angoloide si ottengono due poligoni simili.
Il procedimento è l’analogo del fascio di rette parallele nel piano (teorema di Talete) tagliate da due trasversali.

Piramide retta e piramide regolare

Gli elementi che caratterizzano una piramide son: la base, il vertice, l’altezza, le facce laterali, gli spigoli laterali, lo spigolo di base.
Chiamiamo base della piramide il poligono che si forma dall’intersezione tra il piano e l’angoloide.
Il vertice della piramide coincide con il vertice dell’angoloide. La distanza tra il vertice e il piano di base costituisce l’altezza della piramide. Le facce laterali della piramide sono tutti triangoli; ogni triangolo ha per base un lato del poligono di base e per lati due spigoli laterali.
È probabile che anche il nome di questo solido derivi dagli egizi perché il termine piramide significa sommità, in riferimento al vertice dove tutte le facce uniscono.
Si definisce piramide retta quando nella sua base si può iscrivere una circonferenza, e il centro di questa circonferenza è la proiezione ortogonale del vertice della piramide sul piano di base.
In una piramide retta le altezze delle facce laterali, passano per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenza inscritta e sono tra loro congruenti. Questa altezza della piramide retta si chiama apotema.
Quando la base della piramide è uno dei poligoni regolari, la piramide si dicd regolare.
In una piramide regolare le facce sono tutti i triangoli isoscele congruenti.
Una piramide regolare pur avendo come poligono di base un poligono regolare non è in generale un poliedro regolare, infatti le sue facce laterali sono triangoli isosceli e non parallelogrammi.
Per la piramide regolare si definisce anche un apotema di base che in realtà coincide con il raggio della circonferenza inscritta e quindi viene indicato con r per distinguerlo da quello delle facce laterali indicato con a.
In una piramide retta le altezze dei triangoli che costituiscono le facce laterali sono tutte congruenti e ciascuna di queste è detta apotema della piramide.
L’apotema coincide anche con l’ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti l’altezza della piramide e metà dello spigolo di base, quest’ultimo coincide con il raggio della circonferenza in scritta del poligono di base. Applicando il teorema di Pitagora vale la seguente relazione tra raggio e altezza della piramide:

Vedi qui per approfondimenti sul volume del tronco di cono

Tronco di piramide

Consideriamo una piramide, se essa viene tagliata da un piano parallelo alla base e non passante per il vertice, si formano due solidi:

• una piramide più piccola contenente il vertice e si dimostra che è simile alla piramide intera;
• un poliedro detto tronco di piramide,
  

Il tronco di piramide è un solido delimitato da due poligoni situati su piani paralleli, denominati base maggiore (o inferiore) e base minore ( o superiore) del tronco. Le facce laterali, sono dei trapezi tutti congruenti se la piramide è regolare.
La distanza tra i piani delle basi e l’altezza del tronco di piramide, l’altezza dei trapezi è l’apotema del tronco di piramide.
Vale il seguente teorema relativo alle sezioni parallele di una piramide.
Se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base:

• la sezione e la base sono poligoni simili;
• i lati e i perimetri di questi poligoni sono proporzionali alle distanze del loro piano dal vertice;
• le misure delle superfici sono proporzionali ai quadrati delle misure di queste distanze.

Volume del tronco di piramide

Indichiamo i vari elementi come segue

P: perimetro della base maggiore(base della piramide)
p: perimetro della base minore
S: superficie della base maggiore (base della piramide)
s: superficie della base minore
H: distanza della base maggiore dal vertice V (altezza della piramide)
h: distanza della base minore dal vertice V

Per la similitudine tra i due poligoni di base, abbiamo le seguenti relazioni di proporzionalità:

La misura del volume del tronco di piramide si calcola come differenza tra la misura del volume della piramide di base S e quella di base s, ovvero come differenza delle misure dei volumi delle piramidi di vertice V e basi coincidenti con quelle del tronco.

Se prendiamo una piramide e un prisma che hanno la stessa base e la stessa altezza, bisogna versare per tre volte ciò che serve per riempire una piramide, diremo allora che una piramide è equivalente a un terzo di un prisma che ha base e altezza equivalenti a quelle della piramide.

Questo significa che basta dividere per tre il volume di un prisma con base e altezza pari a quelle della piramide:
Il volume di una piramide si ottiene moltiplicando l’area del poligono di base per l’altezza e dividendo il prodotto ottenuto per tre.

Per il volume del tronco di piramide si ha:

dove h è l’altezza della piramide.

Per ulteriori approfondimenti sui problemi svolti sulla piramide regolare a base triangolare vedi anche qua