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Volume tronco di piramide e tronco di cono


Consideriamo una piramide, se essa viene tagliata da un piano parallelo alla base e non passante per il vertice, si formeranno due figure solide: un tronco di dimensioni minori in alto ed un tronco di cono in basso.
Questa figura avrà come facce laterali dei trapezi, mentre come base superiore S ed inferiore s due poligoni simili.
Inoltre i due poligoni saranno proporzionali alle distanze dei poligoni stessi dal vertice:
    S : s = H : h

    (dove H non è altro che l'altezza della piramide prima che venisse tagliata dal piano parallelo)


Inoltre, le superfici dei due poligoni di base, sono direttamente proporzionali ai quadrati delle altezze.
    S : s =
    [math](h+x)^2[/math]
    :
    [math]x^2[/math]

Dove x rappresenta l'altezza del tronco di cono.
Quindi:
    S^(1/2) : s^(1/2) = (h+x) : x

Per la proprietà dello scomporre:
    [S^(1/2) - s^(1/2)] : s^(1/2) = (h+x-x) : x

x = [s^(1/2) h (S^(1/2)+s^(1/2))]/S-s

Il volume totale sarà pari a

    V = 1/3 V(h+x)-1/3 V(h)
    V = 1/3 Sh + 1/3 [s^(1/2) h (S^(1/2)+s^(1/2))]/S-s x (S-s)

Risultato finale:


    V = 1/3 h [(sS)^(1/2)+S+s]


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