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Definizione di anticlessidra


In geometria, l'anticlessidra è un solido che si ottiene sottraendo ad un cilindro equilatero, ossia un cilindro circolare di altezza pari al diametro di base, due coni simmetrici rispetto al punto medio del segmento che congiunge i centri delle basi del cilindro ed aventi le basi coincidenti con quelle del cilindro.

Per gli scopi di questo approfondimento, considereremo una semianticlessidra come quella di figura:

e una semisfera come mostrato in quest'altra figura:

Equivalenza sezioni di anticlessidra e sfera


Consideriamo la semianticlessidra e la semisfera di cui sopra, poniamole su uno stesso piano e tagliamole con un piano parallelo a quello su cui giacciono ad una generica altezza
[math]0 < h < r\\[/math]
:

Per quanto concerne l'area della sezione ottenuta intersecando il secondo piano con la semianticlessidra, trattandosi banalmente di una corona circolare, è sufficiente sottrarre all'area del cerchio di raggio maggiore

[math]r[/math]
quella del cerchio di raggio minore
[math]h\\[/math]
(uguale all'altezza):

[math]A_1 = \pi\,r^2 - \pi\,h^2 = \pi\left(r^2 - h^2\right) \; . \\[/math]

Per quanto riguarda l'area della sezione ottenuta intersecando il secondo piano con la semisfera, trattandosi banalmente di un cerchio, risulta pari a

[math]A_2 = \pi\,\overline{DE}^2[/math]
. Dato che per il teorema di Pitagora si ha
[math]\overline{DE}^2 = \overline{OE}^2 - \overline{OD}^2 = r^2 - h^2\\[/math]
risulta essere:

[math]A_2 = \pi\left(r^2 - h^2\right) \; .\\[/math]

È evidente che

[math]A_1 = A_2[/math]
e quindi abbiamo dimostrato che ponendo su un piano una anticlessidra e una sfera di stesso raggio, sezionandole con un piano parallelo a quello di giacitura, si ottengono sezioni equivalenti, ossia di eguale area.


Principio di Cavalieri


Dati due solidi di stessa altezza, posti su un piano, qualora le aree di base siano equivalenti e lo siano pure le sezioni ottenute sezionandoli con un piano parallelo a quello di giacitura allora sono equivalenti.

Equivalenza anticlessidra e sfera


Alla luce di quanto dimostrato sopra e del principio appena enunciato si dimostra automaticamente che una sfera inscritta in un cilindro equilatero è equivalente all'anticlessidra ottenuta dal cilindro stesso.

Considerando la semianticlessidra di cui sopra, il proprio volume risulta banalmente pari a:

[math]V_1 = \pi\,r^2 - \frac{1}{3}\,\pi\,r^2 = \frac{2}{3}\,\pi\,r^3\\[/math]

e per il teorema appena dimostrato segue che il volume della semisfera sopra considerata è pari a:

[math]V_2 = V_1 = \frac{2}{3}\,\pi\,r^3 \; .\\[/math]

In definitiva, il volume di una sfera di raggio
[math]r\\[/math]
, risulta pari a:

[math]V_s = \frac{4}{3}\,\pi\,r^3 \; .[/math]

Curiosità


Un modo simpatico per ricordare questa importantissima formula di geometria solida consiste nel memorizzarla attraverso una filastrocca del tipo: "Il volume della sfera qual è? Quattro terzi, pi greco, erre tre!" o comunque con varianti simili.

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