Volume della sfera: regole

Questo è un appunto di geometria solida per le scuole superiori, sul volume della sfera. Dalla definizione di anticlessidra, e sfruttando il principio di Cavalieri si dimostra l'equivalenza tra anticlessidra e sfera per ricavare poi la formula del volume. Un utile approfondimento per lo studio sia per l'esame di maturità che per quello di terza media.

Equivalenza tra solidi

Il concetto di estensione spaziale deriva dalle nostre esperienze concrete.

Siamo abituati a considerare un oggetto grande o piccolo a seconda che occupi più o meno spazio, o, come spesso diciamo, sia più o meno voluminoso. Se consideriamo poi due solidi di forma diversa ma realizzati con lo stesso materiale e dello stesso peso, diciamo che hanno la stessa estensione. Due solidi che hanno la stessa estensione si dicono equivalenti o equivolumetrici, anche la capienza di un recipiente è collegata alla sua estensione nello spazio.
L’equivalenza tra solidi gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva perciò è una relazione di equivalenza. Possiamo ripartire i solidi in classi di equivalenza ciascuna delle quali costituita da infiniti solidi aventi a due a due uguale estensione.
Data la relazione di equivalenza tra solidi, definiamo volume di un solido la classe di equivalenza alla quale il solido appartiene.
Ogni classe di equivalenza alla quale appartengono solidi aventi la stessa estensione definisce allora uno e un solo volume.
Valgono i seguenti postulati:
Due solidi congruenti sono sempre equivalenti.
Solidi ottenuti come somma o differenza di solidi congruenti o equivalenti sono equivalenti.

Non è detto che due solidi equivalenti siano congruenti.

Dato per esempio un cubo, figura a, se lo tagliamo secondo un piano che passa per le diagonali di due facce opposte, otteniamo due solidi che possiamo disporre come in figura b. Il cubo e il solido sono equivalenti ma non congruenti.

Principio di Cavalieri

Cavalieri contribuì più di ogni altro alla diffusione in Italia della teoria e pratica dei logaritmi, ma è noto soprattutto per la sua Geometria degli Indivisibili. Il principio di Cavalieri è di particolare importanza perché rende lo studio dell’equivalenza dei solidi di più facile approccio anche se non ne consente un approfondimento completo.
Per capire cosa dice il principio, osserviamo le tre risme di carta in figura.

Esse sono costituite dallo stesso numero di fogli aventi le stesse dimensioni e perciò occupano tutte lo stesso spazio. Se le modelliamo in forme diverse, ad esempio facendo scorrere i fogli un po’ di lato, esse continueranno ad occupare lo stesso spazio, perché i fogli sono sempre gli stessi, non sono cambiati né in numero né in dimensione. Il principio in forma matematica esprime questo concetto intuitivo:
Due solidi di uguale altezza, appoggiati sullo stesso piano, sono equivalenti se, tagliati un qualsiasi piano parallelo al piano d’appoggio, determinano delle sezioni piane equivalenti tra loro.

Nella figura

è il piano d’appoggio,

e

sono i piani paralleli che intersecano i tre solidi. Le sezioni generate sono equivalenti, hanno cioè la stessa area.
Possiamo così comprendere il principio di Cavalieri che si assume come postulato.

Dimostrazione dell’equivalenza anticlessidra e sfera

Definizione dell’anticlessidra
Data una sfera di centro O, a essa circoscriviamo un cilindro equilatero e consideriamo i due coni di vertice O con le basi coincidenti con quelle del cilindro. Definiamo anticlessidra il solido ottenuto dalla differenza fra il cilindro e i due coni, rappresentato dalla parte rosa.

La sfera è un solido rotondo che si ottiene per rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro.
Si dimostra che: la sfera è equivalente alla sua anticlessidra.

Dimostrazione

Ipotesi: sfera ed anticlessidra hanno lo stesso raggio:
[math]r_S\cong r_A[/math]
Tesi: sfera S, ed anticlessidra A, sono equivalenti
[math]\to S\equiv A[/math]

Facciamo riferimento alla figura sopra e consideriamo il piano

parallelo al piano

su cui poggia il cilindro. Il piano

interseca il cilindro ad una distanza che misura h dal punto O. Il triangolo OHA è rettangolo in H ed è isoscele, quindi anche la misura di HA è h.
La sezione del piano

con l’anticlessidra è una corona circolare la cui circonferenza esterna ha raggio di misura r (il raggio del cilindro) e la circonferenza interna è l’intersezione di

con il cono e quindi ha raggio di misura h. La misura dell’area della superficie di questa corona circolare è:

La sezione del piano

con la sfera è un cerchio di raggio HB, che è anche un cateto del triangolo rettangolo OHB,

per il teorema di Pitagora, si ha:

Quindi la misura dell’area del cerchio è:

e dunque:

Le misure delle aree delle sezioni che il piano

forma con l’anticlessidra e con la sfera sono uguali, quindi le sezioni sono equivalenti e, per il principio di Cavalieri, la sfera e l’anticlessidra sono equivalenti.

Volume della sfera, la formula

Per il teorema di equivalenza tra sfera e anticlessidra possiamo calcolare il volume della sfera per differenza tra quello del cilindro esterno ed il doppio cono:

dove:

e allora:

Osservazioni sulla geometria solida

La geometria dello spazio è quella che ha più motivi di riscontro con realtà che ci circonda; ogni cosa che vediamo, tocchiamo, percepiamo si stende in tre dimensioni. Eppure sembra essere la più difficile da “acquisire”, forse perché è facile disegnare triangoli, rettangoli e quadrati, ma non è altrettanto facile disegnare solidi come le piramidi, le sfere, i prismi. Né tantomeno capire qual è il risultato di un’intersezione con un piano secante il solido. Saper manipolare le figure geometriche nello spazio è un requisito molto importante in molti campi: ingegneria, architettura, computer grafica del 3D solo per dirne alcune. E’ indispensabile conoscere le caratteristiche delle figure solide principali, e comprendere cosa succede quando vengono sezionate da piani, viste da certe angolazioni piuttosto che da altre, guardate dal basso, dall’alto, dall’interno.

Per approfondimenti sul volume della sfera vedi anche qui