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La piramide regolare triangolare, quesiti e problemi

L'esercizio proposto è un quesito con risposta multipla
Esaminiamo la traccia del quesito:
“Una piramide retta ha per base un triangolo equilatero di lato l. L'altezza della piramide è congruente allo spigolo di base. La distanza del centro della base da uno degli spigoli laterali a quanto è uguale?”
Ci sono 5 risposte tra cui scegliere.

    A.
    [math] \frac{√3}{2}l[/math]

    B.

    [math] \frac{2}{√2}l[/math]

    C.

    [math] \frac{l}{2} [/math]

    D.

    [math] \frac{l}{3} [/math]

    E.

    [math] \frac{√3}{3}l[/math]

Quale è la risposta corretta?
Facciamo un disegno per aiutarci a visualizzare il solido.

Piramide regolare triangolare, quesiti e problemi articolo

Sappiamo che l’altezza è congruente agli spigoli di base:

[math]h=l[/math]

[math]\overline{VH}=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{AC}[/math]

Sia

[math]HD[/math]
la distanza dallo spigolo laterale
[math]AV[/math]
.

Nel triangolo

[math]VHA[/math]
, rettangolo in
[math]H[/math]
,
[math]HD[/math]
è altezza relativa all’ipotenusa
[math]AV[/math]
.
Notiamo ancora che il triangolo
[math]ADH[/math]
è retto in
[math] D[/math]
ed ha angoli di
[math]30°[/math]
e
[math]60°[/math]
.

[math]\widehat{DAH}= 60°[/math]

[math]\widehat{AHD}= 30°[/math]

Dalla goniometria abbiamo allora che:

[math]
\overline{HD} = \overline{AH} \cos 30°[/math]

Cosa sappiamo di

[math]\overline{AH}[/math]
?

[math]\overline{AH}[/math]
= raggio della circonferenza circoscritta al triangolo
[math]ABC[/math]
e vale:

[math]\overline{AH}=\frac{\sqrt{3}}{3}l[/math]

Quindi:

[math]HD=(l√3)/3*√3/2=l/2[/math]

La risposta corretta è la C.

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