La piramide regolare triangolare, quesiti e problemi
L'esercizio proposto è un quesito con risposta multipla
Esaminiamo la traccia del quesito:
“Una piramide retta ha per base un triangolo equilatero di lato l. L'altezza della piramide è congruente allo spigolo di base. La distanza del centro della base da uno degli spigoli laterali a quanto è uguale?”
Ci sono 5 risposte tra cui scegliere.
-
A.
[math] \frac{√3}{2}l[/math]
B.
[math] \frac{2}{√2}l[/math]
C.
[math] \frac{l}{2} [/math]
D.
[math] \frac{l}{3} [/math]
E.
[math] \frac{√3}{3}l[/math]
Quale è la risposta corretta?
Facciamo un disegno per aiutarci a visualizzare il solido.
Sappiamo che l’altezza è congruente agli spigoli di base:
[math]h=l[/math]
[math]\overline{VH}=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{AC}[/math]
Sia
[math]HD[/math]
la distanza dallo spigolo laterale [math]AV[/math]
.Nel triangolo
[math]VHA[/math]
, rettangolo in [math]H[/math]
, [math]HD[/math]
è altezza relativa all’ipotenusa [math]AV[/math]
.Notiamo ancora che il triangolo
[math]ADH[/math]
è retto in[math] D[/math]
ed ha angoli di [math]30°[/math]
e [math]60°[/math]
.
[math]\widehat{DAH}= 60°[/math]
[math]\widehat{AHD}= 30°[/math]
Dalla goniometria abbiamo allora che:
[math]
\overline{HD} = \overline{AH} \cos 30°[/math]
\overline{HD} = \overline{AH} \cos 30°[/math]
Cosa sappiamo di
[math]\overline{AH}[/math]
?
[math]\overline{AH}[/math]
= raggio della circonferenza circoscritta al triangolo [math]ABC[/math]
e vale:
[math]\overline{AH}=\frac{\sqrt{3}}{3}l[/math]
Quindi:
[math]HD=(l√3)/3*√3/2=l/2[/math]
La risposta corretta è la C.
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