Apotema in geometria piana: definizione, formule e calcolo

Nel seguente appunto viene data la definizione di apotema in geometria piana, fornendo le basi necessarie per l'apprendimento di tale concetto, a partire dai poligoni equilateri ed equiangoli e dalla definizione (e costruzione) di circonferenza inscritta e circoscritta in un poligono regolare.

Definizione di apotema

Si definisce apotema di un poligono regolare il raggio della circonferenza inscritta in esso. Tale raggio assume una grande importanza specie nei poligoni regolari, perchè permette -indipendentemente dal numero dei loro lati- di calcolarne facilmente il perimetro e l'area.

Vediamo di chiarire bene questa questione.

I poligoni regolari

Cominciamo innanzitutto col dare la definizione di poligono regolare.
Un poligono regolare è un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali. In altre parole, un poligono è regolare quando è equilatero ed equiangolo.

La geometria ci insegna che ogni poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile ad una circonferenza, e che le due circonferenze (una circoscritta, l'altra inscritta) hanno il medesimo centro, ossia sono concentriche.
In ogni poligono regolare, infatti, gli assi di ogni suo lato (cioè le rette passanti per il punto medio di ogni lato e ad ogni lato perpendicolari) passano per un medesimo punto. Questo punto, che chiameremo centro O del poligono, è equidistante dai lati del poligono e da tutti i suoi vertici.

Consideriamo un poligono regolare qualsiasi di centro

e sia uno dei suoi vertici. Puntando il compasso nel punto con apertura (dove A è un vertice a piacere del poligono regolare), otterremo una circonferenza di centro O e passante per tutti i vertici del poligono. Si dice che questa è la circonferenza circoscritta al poligono. Il suo raggio è dunque pari alla distanza tra O ed uno qualsiasi dei vertici.
Prendiamo ora invece, su un lato qualsiasi di questo poligono regolare il suo punto medio e chiamiamolo , tracciamo l'asse di uno qualsiasi dei lati del poligono, e puntiamo il compasso nel punto con apertura , otterremo una circonferenza di centro O interna al poligono, e tale che ogni suo lato le sia tangente nel punto medio del lato, per ognuno dei lati del poligono regolare in esame.. Si dice che questa è la circonferenza inscritta nel poligono. Il suo raggio - pari ad OH - viene chiamato, come già accennato in precedenza, apotema del poligono.

Immaginiamo di disegnare un esagono regolare di centro O. Congiungiamo ognuno dei suo vertici con O, in modo da suddividere la figura in 6 triangoli isosceli (poichè abbiamo detto che il centro O di un poligono regolare è sempre equidistante da ognuno dei suoi vertici) e tutti uguali. È curioso notare che, nel caso particolare dell'esagono regolare, i 6 triangoli isosceli in questione, sono anche equilateri, in quanto ogni angolo interno di un esagono misura

e viene diviso in due dalla diagonale.
Ognuno di questi triangoli ha per base il lato dell'esagono (L) e per altezza il suo apotema (a).
Possiamo quindi scrivere che, detta l'area dell'esagono e detta l'area del triangolo:

Cioè:

O se si preferisce:

Entrambe le uguaglianze citate qui sopra derivano dal fatto che l'area di un triangolo è data dal prodotto tra base e altezza diviso per 2.
La quantità 6L è chiaramente pari al perimetro dell'esagono, che denoteremo con

, ossia il doppio del semiperimetro.

Possiamo dunque scrivere:

Il ragionamento fatto per l'esagono può essere reiterato per qualsiasi poligono regolare di

lati di misura , ottenendo un perimetro pari a e un'area pari a .
La conclusione generale è la seguente: l'area di un poligono regolare è uguale al prodotto della misura del semiperimetro

[math]p[/math]

per quella del suo apotema (a). Questa constatazione ha in geometria una grandissima importanza: attraverso di essa è possibile calcolare facilmente l'area di un poligono regolare una volta noti il suo perimetro e il suo apotema: operazione, questa, altrimenti complessa.

Dalla formula appena vista derivano poi due formule inverse, utili per calcolare:

1) L'apotema di un poligono regolare qualora siano noti l'area e il semiperimetro;

2) Il perimetro di un poligono regolare qualora siano noti l'area e l'apotema;

Calcolo dell'apotema

In ogni poligono regolare esiste una relazione ben precisa tra la misura del lato (L) e l'apotema (a).

In altre parole, per ogni poligono regolare è possibile determinare la misura dell'apotema moltiplicando la misura del lato per un certo numero fisso che chiameremo

. Il valore di questo numero dipende dal numero di lati del poligono.
Possiamo dunque scrivere che:

Da cui deriva una formula inversa:

Il valore di questo numero fisso è normalmente tabulato in qualsiasi manuale di geometria, in funzione del numero di lati del poligono. Qui di seguito si riporta tale valore per i poligoni più comunemente studiati:

Triangolo = 0,2886
Quadrato = 0,5
Pentagono = 0,6882
Esagono = 0,866
Ettagono = 1,0384
Ottagono = 1,2071

Calcolo del numero fisso per via trigonometrica

Consideriamo uno degli triangoli in cui viene suddiviso un poligono regolare di lati.
Tali triangoli sono isosceli aventi come base e come angolo al vertice .
Di conseguenza gli angoli alla base misurano .
L'altezza (e quindi l'apotema) sarà quindi data, considerando uno dei triangoli rettangoli che si ottengono prendendo il punto medio di uno dei lati, da: .
Sostituendo a tale frazione si può ottenere il numero fisso per qualsiasi poligono regolare di lati.

L'apotema in geometria solida

Il termine "apotema" si ritrova non solo nella geometria piana (quando si parla di poligoni regolari), ma anche nella geometria solida. Per la precisione si parla di apotema quando si studiano la piramide (o il tronco di piramide) e il cono (o il tronco di cono).

Nella piramide esistono due apotemi: l'apotema propriamente detto e l'apotema di base.

1) Il primo è definito come il segmento perpendicolare condotto dal vertice della piramide ad uno spigolo di base, o più semplicemente come l'altezza di ognuna delle facce laterali triangolari della piramide. Se la piramide è retta, queste altezze risultano tutte uguali. Conoscere il valore dell'apotema di una piramide è molto utile, perché permette di calcolarne l'altezza e l'area laterale.

2) Il secondo è invece il raggio della circonferenza iscrivibile nel poligono di base, e, se quest'ultimo è regolare, valgono per l'apotema di base tutte le considerazioni che abbiamo espresso finora. Conoscere il valore dell'apotema di base di una piramide è molto utile, perché permette di calcolarne l'altezza qualora sia noto anche il valore dell'apotema, e l'apotema qualora sia nota anche l'altezza.

Il cono, differentemente dalla piramide, non è un solido a spigolo, ma è un solido di rotazione. E' infatti il solido frutto della rotazione completa (360°) di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto. L'ipotenusa di questo triangolo è per l'appunto l'apotema del cono. Conoscere il valore dell'apotema di un cono è molto utile, perché permette di calcolarne l'altezza, il raggio di base e l'area laterale.

Poiché a questo punto la trattazione comincerebbe a farsi complessa, se ne risparmiano in questa sede i dettagli: il presente appunto ha il solo scopo di illustrare nel dettaglio le caratteristiche dell'apotema nelle figure piane. Si rimanda la questione relativa all'apotema delle figure solide negli appunti esplicitamente dedicati ai solidi piramide e cono.

Per approfondimenti sulla piramide vedi anche qua