Costruzione di un triangolo isoscele

In questo appunto di geometria piana vedremo diversi modi in cui è possibile effettuare la costruzione di un triangolo isoscele sfruttando alcune sue proprietà e dopo aver assegnato alcuni suoi elementi: la base e l’altezza, la base e il lato, oppure il raggio della circonferenza circoscritta e l'altezza.

Proprietà del triangolo isoscele

Il triangolo isoscele è un triangolo con due lati congruenti.
In un triangolo isoscele il segmento che unisce il vertice opposto alla base è contemporaneamente altezza relativa ad essa, mediana sempre della base, e bisettrice dell’angolo da cui ha origine.
Tracciando questo segmento il triangolo isoscele resta diviso in due triangoli rettangoli che sono congruenti.
In un generico triangolo isoscele ABC sia AB la sua base e sia CH il segmento che unisce il vertice C con il lato AB.
Essendo questo segmento altezza relativa alla base vuol dire che gli angoli che si formano in H, sono entrambi retti, pertanto il triangolo isoscele resta diviso in due triangoli rettangoli congruenti.
Essendo questo segmento anche mediana vuol dire che la base AB resta divisa in due segmenti congruenti e perciò H è anche il punto medio.
Essendo infine anche bisettrice dell'angolo al vertice vuol dire che lo divide in due angoli congruenti.

Perimetro e area del triangolo isoscele, le formule

Per calcolare il perimetro del triangolo isoscele, come per qualsiasi figura piana, bisogna sommare le misure dei suoi lati. Essendo due di essi congruenti possiamo indicarne la misura genericamente con l e indicare quella della base con b.
Abbiamo la formula seguente:



È possibile ricavare due formule inverse che permettono di determinare sia la misura del lato obliquo sia la misura della base.
Noto il perimetro e nota la misura del lato obliquo la misura della base si ottiene sottraendo al perimetro due volte la misura del lato:



Noto il perimetro e nota la misura della base, la misura del lato obliquo si ottiene sottraendo al perimetro la misura della base e poi si divide per due il risultato ottenuto:



Per calcolare l’area del triangolo bisogna effettuare il semiprodotto della base per l’altezza relativa ad essa:



Come sempre valgono le formule inverse per il calcolo della misura della base o della misura dell’altezza:







Ricordiamo a tal proposito che in ogni triangolo è possibile tracciare tre altezze, ma anche tre mediane e tre bisettrici e ciascun gruppo di questi segmenti si incontra in punti notevoli. Nel triangolo isoscele i segmenti di altezza, mediana e bisettrice relativi ai due lati obliqui sono congruenti tra loro perciò si può calcolare l'area anche considerando come base il lato obliquo e dunque l'altezza relativa ad esso. Se indichiamo con la misura di quest’altezza, la formula per il calcolo dell’area può essere riscritta come segue:



Per ulteriori approfondimenti sul triangolo isoscele vedi qua

Per ulteriori approfondimenti sui punti notevoli del triangolo equilatero vedi qua

Costruzione del triangolo isoscele data la base e l’altezza

Vediamo come si procede graficamente nella costruzione di un triangolo isoscele nota la misura della base e quella dell’altezza.
Per questo disegno sono necessari una coppia di squadre un compasso e una riga.
Utilizzando le squadre da disegno tracciamo una linea orizzontale e su di essa individuiamo il segmento di estremi A e B della stessa lunghezza della base.
Per le proprietà del triangolo isoscele sappiamo che l’altezza relativa alla base è anche mediana. Apriamo il compasso con un’ampiezza di poco superiore alla metà della base e puntando una volta nell'estremo A e una volta nell'estremo B, tracciamo due archetti che attraversano la base stessa.
I due archi di circonferenza si intersecano sia al di sopra che al di sotto del segmento della base. La retta passante per due punti interseca la nostra base esattamente nel suo punto medio; questa retta è l'asse del segmento AB. Ricordiamo che l'asse di un segmento è un luogo geometrico. Nel triangolo isoscele l’altezza relativa alla base, la bisettrice dell’angolo al vertice C e contemporaneamente la mediana giacciono tutti sull'asse. Conoscendo la misura dell’altezza sappiamo anche dove si trova il vertice lo individuiamo e non ci resta che congiungere i due estremi della base con questo vertice per ottenere il nostro triangolo ABC isoscele sulla base AB.

Costruzione del triangolo isoscele dati la base e il lato

Vediamo ora come costruire un triangolo isoscele che abbia la base di 7 cm e il lato obliquo di 10 cm.
Anche per questa costruzione abbiamo bisogno di squadre e compasso. Disegniamo come prima cosa, una linea orizzontale sulla quale dobbiamo individuare la lunghezza del segmento che rappresenta la base del nostro triangolo.
Gli estremi di questo segmento sono sempre i due vertici A e B.
Successivamente disegniamo un'altra linea, in una parte qualsiasi del foglio da disegno, di lunghezza pari alla misura del lato obliquo assegnato 10 cm.
Questo piccolo stratagemma ci consente di aprire il compasso in maniera più precisa. Fissata l’apertura di 10 cm, centriamo nei due estremi del segmento che costituisce la base del triangolo e tracciamo due archetti in alto rispetto alla base. Il punto di intersezione dei due archetti è il vertice C opposto alla base AB. Per completare la costruzione del triangolo dobbiamo unire il vertice A e il vertice B con il punto C.

Per approfondimenti sulla costruzione del triangolo isoscele data la base vedi qua

Costruzione del triangolo isoscele dato il raggio della circonferenza circoscritta e l’altezza

Come prima cosa si traccia la circonferenza di raggio assegnato, successivamente si traccia un diametro qualsiasi. Indichiamo con A e B gli estremi del diametro e sia B il vertice del triangolo opposto alla base.
Ora bisogna aprire il compasso con apertura uguale alla misura dell'altezza, si punta nel vertice B e si traccia un arco sul diametro, detto H il punto individuato dall’arco, il segmento BH sarà l'altezza del triangolo. La base del triangolo isoscele è perpendicolare all’altezza, perciò, dobbiamo costruire la retta perpendicolare in H al segmento B. Si deve prolungare il diametro dal lato di A, con apertura di compasso di poco inferiore al raggio, puntiamo in H e tracciamo due archi dai lati opposti rispetto al punto H. Successivamente con un'apertura del compasso pari alla distanza tra i due punti individuati tracciamo altri due archetti che individuano un terzo punto della retta perpendicolare all’altezza ovvero la retta su cui si troverà la base del triangolo isoscele. Non ci resta che unire il punto tre con il punto H e trovare i punti di intersezione con la circonferenza che sono gli altri due vertici il triangolo isoscele.
Per approfondimenti sui poligoni inscritti e circoscritti vedi qua