Triangolo isoscele - Lato obliquo, base e altezza: esempi pratici

Geometria

Appunto completo di geometria sul lato obliquo di un triangolo isoscele. Esempi pratici per determinare i lati obliqui, base o altezza del triangolo considerando, sfruttando anche il Teorema di Pitagora.

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Sintesi

In questo appunto verranno descritti i concetti di triangolo isoscele e tutto ciò che ne concerne in merito ai suoi due lati obliqui. Un triangolo è un poligono costituito da tre lati. In base a questi tre lati, classifichiamo i triangoli in:

Triangolo Equilatero: tutti e tre i lati sono uguali

Triangolo Isoscele: due lati su tre sono uguali

Triangolo Scaleno: tutti e tre i lati sono diversi

Questo appunto si incentrerà sui triangoli isosceli e la determinazione dei lati obliqui e della base, nei classici problemi di geometria.

Per ulteriori approfondimenti sui concetti generali sul triangolo vedi anche qui

Il lato obliquo di un triangolo isoscele

Si definisce triangolo isoscele un triangolo che ha due lati uguali, ovvero possiede due lati congruenti.
Tali lati uguali si chiamano semplicemente lati (o lati obliqui), mentre il terzo si chiama base.
I due lati obliqui, incontrandosi, formano un angolo chiamato angolo al vertice, mentre formano con la base due angoli che vengono detti angoli alla base.
Facendo riferimento alla figura 1 in allegato, possiamo dunque dire che AB è la base del triangolo isoscele, AC e CB sono i due lati obliqui (e quindi uguali) del triangolo isoscele, l'angolo con vertice in C è l'angolo al vertice, e infine i due angoli con vertice in A e in B sono gli angoli alla base.
E' semplice verificare che in ogni triangolo isoscele non solo i due lati obliqui sono uguali, ma il triangolo isoscele presenza anche gli angoli alla base identici tra di loro.

Determinazione dei lati obliqui: Caso 1

Consideriamo la nostra prima casistica. Determinare la misura di questi due lati obliqui non è sempre facile. Il procedimento da seguire dipende dai dati a disposizione. Vediamo quali sono tutte le principali casistiche, facendo riferimento al triangolo isoscele della Figura 2 presente in allegato.
Se del triangolo sono noti il perimetro (2P) e la misura della base (B), la misura di ciascuno dei due lati obliqui (L) è la seguente.

[math]2P = B + L + L[/math]

[math]2P = B + 2L[/math]

[math]\frac{2P}{B} = 2L[/math]

[math]L = \frac{2P}{2\cdot B}[/math]

Da cui si conclude che il lato sarà pari al rapporto tra il perimetro e la base:

[math]L = \frac{P}{B}[/math]

Determinazione dei lati obliqui: CASO 2

Consideriamo un'altra casistica. Supponiamo invece che venga fornita l'altezza rispetto alla base (H) e la misura della base (B). Un teorema molto noto in geometria (e che in questa sede daremo per scontato), stabilisce che l'altezza rispetto alla base è in un triangolo isoscele anche bisettrice dell'angolo al vertice e mediana della base. Questo significa che l'altezza rispetto alla base divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli perfettamente uguali, che hanno per ipotenusa uno dei due lati obliqui e per cateti l'altezza rispetto alla base e metà della base stessa. Stando così le cose, per trovare la misura di ciascuno dei due lati obliqui (L) del triangolo isoscele sarà sufficiente utilizzare il Teorema di Pitagora:

[math]L^2 = H^2 + (\frac{B}{2})^2[/math]

[math]L^2 = H^2 + \frac{B^2}{4}[/math]

[math]L = \sqrt{H^2 + \frac{B^2}{4}}[/math]

Da cui si conclude che il lato sarà la somma sotto radice del quadrato dell'altezza sommato al rapporto tra il quadrato della base e 4.

Determinazione della base conoscendo i lati obliqui: Caso 1

Il teorema di Pitagora risulta essere molto utile in differenti casistiche. Consideriamo un'altra casistica. Il teorema può essere utilizzato anche per determinare la base del triangolo qualora si conosca la misura del lato obliquo e dell'altezza rispetto alla base:

[math]L^2 = H^2 + (\frac{B}{2})^2[/math]

[math]L^2 = H^2 + \frac{B^2}{4}[/math]

[math]L^2 - H^2 = \frac{B^2}{4}[/math]

[math]\sqrt{L^2 - H^2} = \frac{B}{2}[/math]

[math]B=2 \cdot \sqrt{L^2 - H^2}[/math]

Da cui si conclude che la base sarà pari al doppio prodotto della radice della differenza tra i quadrati del lato obliquo e dell'altezza.

Determinazione dell'altezza conoscendo i lati obliqui: Caso 1

Consideriamo un'altra casistica. Il teorema di Pitagora può essere anche utilizzato per determinare l'altezza rispetto alla base del triangolo qualora si conosca la misura del lato obliquo e della base:

[math]L^2 = H^2 + (\frac{B}{2})^2[/math]

[math]L^2 = H^2 + \frac{B^2}{4}[/math]

[math]L^2 - \frac{B^2}{4} = H^2[/math]

[math]H=\sqrt{L^2 - \frac{B^2}{4}}[/math]

Da cui si conclude che l'altezza sarà pari alla radice della differenza tra il quadrati del lato obliquo e la base elevata alla seconda diviso il numero quattro.

Determinazione dell'altezza conoscendo i lati obliqui: Caso 2

Consideriamo un'altra casistica. Qualora non venga assegnata l'altezza rispetto alla base, ma piuttosto l'area del triangolo (A), l'altezza rispetto alla base (H) potrà essere calcolata molto facilmente:

[math]A = \frac{B \cdot H}{2}[/math]

Da cui è possibile ottenere:

[math]H = \frac{2 \cdot A}{B}[/math]

Da cui si conclude che l'altezza sarà pari al rapporto tra due volte l'area diviso la base.

Nota l'altezza H, si potrà a questo punto procedere a calcolare il lato obliquo del triangolo sempre attraverso il Teorema di Pitagora, come mostrato precedentemente.
Questa metodologia di esercizi risolti per il triangolo isoscele può essere seguita anche per la risoluzione di altri problemi di geometria, riconducendoci alle casistiche appena presentate.

Per ulteriori approfondimenti sul triangolo isoscele clicca qui