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calcolo della mediana di un triangolo


La mediana di un triangolo

Si definisce mediana di un triangolo relativa ad un lato, il segmento congiungente il punto medio di questo lato con il vertice opposto.

Immaginiamo dunque di disegnare un triangolo qualsiasi ABC con base AB e vertice in C. Da C tracciamo un segmento tale da dividere la base AB a metà. Chiamiamo H il punto d'intersezione tra il segmento appena disegnato e la base AB. Il segmento CH è dunque la mediana del triangolo ABC relativa al lato AB.

Figura 1 (in allegato)

Poichè i lati di un triangolo sono tre, possiamo concludere che in ogni triangolo vi sono tre mediane, ed esse sono sempre interne al triangolo, differentemente da quanto accade a volte per le tre altezze.

Le mediane di un triangolo hanno alcune particolari caratteristiche, che non è difficile dimostrare. Vediamo quali sono.

Con lo stesso procedimento che è stato eseguito per tracciare la mediana relativa al lato AB, tracciamo le mediane anche per i lati AC e BC, a cui diamo nome AK e BQ. Consideriamo per l'appunto solo le mediane AK e BQ, e trascuriamo per un momento CH. Chiamiamo O il loro punto d'intersezione, che esiste per forza dal momento che le due mediane si incontrano. Di questo ci assicura il teorema dell'angolo convesso, nel merito del quale non entriamo.

Figura 2 (In allegato)

Congiungiamo il punto K con il punto Q. Il segmento KQ è parallelo al lato AB e pari alla sua metà. Di questo ci assicura un altro teorema della geometria, il quale afferma che: "il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed uguale alla metà di questo". In questa sede se ne tralascia la dimostrazione, ma prendiamo comunque per buono quanto asserito dal teorema.

Consideriamo ora il triangolo AOB. Siano V e W i punti medi dei due lati AO e BO, proprio come i punti Q e K sono i punti medi di AC e BC. Ripetendo per il segmento VW tutte le considerazioni che sono state fatte per il segmento QK, possiamo concludere che VW è parallelo al lato AB e pari alla sua metà.

Avendo due lati uguali e paralleli, il quadrilatero QKWV è un parallelogramma, e come tale le due diagonali (QW e KV) si tagliano a metà. Quindi:

[math]KO = OV = VA[/math]
e
[math]QO = OW= WB[/math]
.


Di conseguenza:

[math]AO (=OV + VA) = 2\cdot KO[/math]
e
[math]BO (=OW + WB) = 2\cdot QO[/math]
.


Ripetendo gli stessi ragionamenti anche per le mediane AK e CH, e poi BQ e CH, otterremo gli stessi risultati.

Questo ci porta dunque alla seguente, importante conclusione: le tre mediane di un triangolo passano per uno stesso punto, detto baricentro. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, delle quali quella contenente il vertice è doppia rispetto all'altra.

Inoltre in un triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo al vertice, l'altezza rispetto alla base e la mediana della base coincidono. Anche questa caratteristica può essere facilmente dimostrata.

Consideriamo infatti il triangolo isoscele ABC con base AB e vertice in C. Da C tracciamo l'altezza rispetto alla base AB. Chiamiamo H il punto d'intersezione tra l'altezza appena disegnata e la base AB.

Figura 3 (in allegato)

I due triangoli rettangoli così ottenuti (AHC e BHC) hanno il lato CH in comune e i due lati AC e BC identici per definizione. Questo li rende congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, il quale afferma che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti l'ipotenusa e un cateto.

Questo comporta allora che:

[math]AH = HB[/math]

[math]A\widehat{C}H = B\widehat{C}H [/math]


Il teorema è dimostrato, e possiamo anche aggiungere che su tale segmento CH saranno allineati il punto d'incontro delle mediane, delle altezze e delle bisettrici del triangolo.

Con un procedimento pressoché identico, possiamo estendere il teorema appena dimostrato anche al triangolo equilatero, giungendo alla conclusione - in virtù del fatto che è un poligono regolare, e quindi ha angoli e lati tutti uguali - che in esso le tre mediane coincidono con le altezze e le bisettrici. Di conseguenza anche i punti d'incontro fra mediane, altezze e bisettrici (che normalmente sono tre punti distinti) coincidono.

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