Mediana: descrizione di regole e formule

Questo appunto riguarda il concetto di mediana di un triangolo: se ne analizzeranno le proprietà e se ne mostreranno alcune. Successivamente, rivolgeremo la nostra attenzione ad alcuni casi particolari, cioè capiremo di quali ulteriori proprietà godono le mediane nel caso di un triangolo isoscele e di un triangolo equilatero. Per finire, ripercorreremo brevemente le definizioni di altri elementi di un triangolo: le altezze e le bisettrici, oltre a ricordare il nome di alcuni punti notevoli dei triangoli, che rappresentano proprio i punti di incontro di questi elementi.



Iniziamo questi appunti rispondendo alla domanda: Cos'è la mediana di un triangolo?

Si definisce mediana di un triangolo relativa ad un lato, il segmento congiungente il punto medio di questo lato con il vertice opposto.

Per seguire al meglio questi appunti, ti consigliamo di avere davanti a te un foglio di carta e di disegnare passo passo quello che ti viene descritto. Inoltre, ti sarà molto utile scaricare il file allegato a questi appunti, che contiene una serie di illustrazioni fondamentali.

Immaginiamo dunque di disegnare un triangolo qualsiasi ABC con base AB e vertice C. Facciamo partire dal vertice C un segmento che termina nel punto medio del lato AB, che chiamiamo H. Il segmento appena disegnato, che congiunge C con H, è una delle mediane del triangolo ABC, quella relativa alla base AB.

Puoi osservare quanto appena descritto nella Figura 1 del file allegato a questa pagina.

Il baricentro di un triangolo ed altre proprietà delle mediane

In questo paragrafo studieremo alcune importanti proprietà delle mediane di un triangolo. Vedremo pure che le mediane si incontrano sempre in un punto, detto baricentro del triangolo.

Dal momento che ogni triangolo è dotato di tre lati e tre vertici, le mediane presenti in un triangolo sono sempre tre: una per ciascun lato. Questi segmenti godono di alcune interessanti proprietà, che nel corso di questi appunti analizzeremo nel dettaglio.

Focalizziamo la nostra attenzione sulla Figura 2 del file allegato a questi appunti.

Torniamo al nostro triangolo e, con lo stesso procedimento utilizzato per tracciare la mediana relativa al lato AB, tracciamo anche le altre due mediane: quelle relative ai lati AC e BC, che chiameremo rispettivamente BQ ed AK. Consideriamo per l'appunto solo le mediane AK e BQ, trascurando per un momento CH. Chiamiamo O il loro punto d'intersezione, la cui esistenza è garantita da un'applicazione di un teorema della geometria euclidea, il teorema dell'angolo convesso che, in questi appunti, non dimostreremo.

Congiungiamo il punto K con il punto Q. Il segmento KQ è parallelo al lato AB e pari alla sua metà. Questo ci è garantito da un altro teorema della geometria euclidea, il quale afferma che il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed uguale alla metà di questo. In questa sede se ne tralascia la dimostrazione, ma prendiamo comunque per buono quanto asserito dal teorema.

Consideriamo ora il triangolo AOB. Siano V e W i punti medi dei due lati AO e BO, proprio come i punti Q e K sono i punti medi di AC e BC. Ripetendo per il segmento VW tutte le considerazioni che sono state fatte per il segmento QK, possiamo concludere che VW è parallelo al lato AB e pari alla sua metà.

Avendo due lati uguali e paralleli, il quadrilatero QKWV è un parallelogramma, e come tale le due diagonali QW e KV si tagliano a metà. Possiamo dunque concludere che:






Di conseguenza:






Ripetendo le stesse considerazioni anche per le coppie mediane AK e CH, e poi BQ e CH, otterremo risultati del tutto analoghi.

Quanto detto ci porta alla seguente, importante conclusione: le tre mediane di un triangolo passano per uno stesso punto, detto baricentro. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, delle quali quella contenente il vertice è doppia rispetto all'altra.

Per ulteriori approfondimenti su come disegnare le mediane di un triangolo usando il programma Cabri, vedi anche qua.

Il triangolo isoscele: la mediana relativa all'altezza

In questo paragrafo ci concentriamo sul triangolo isoscele e delle particolarità della mediana relativa alla sua base.

Spostiamo adesso la nostra attenzione sulla Figura 3 del file allegato a questi appunti.

Vi è rappresentato un triangolo isoscele, di base AB e vertice C. Proviamo a dimostrare un'affermazione molto importante, relativa a questo tipo di triangoli, e cioè che in un triangolo isoscele, la bisettrice dell'angolo al vertice, l'altezza relativa alla base e la mediana della base coincidono.

Per prima cosa, tracciamo l'altezza relativa alla base AB e chiamiamo H il punto di intersezione tra l'altezza e la base stessa. Così facendo, abbiamo ottenuto due triangoli, entrambi rettangoli: AHC e BHC. Essi hanno il lato CH in comune e i lati AC e BC congruenti perché lati obliqui di un triangolo isoscele. Essi sono congruenti in virtù del secondo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, il quale afferma proprio che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti l'ipotenusa e un cateto.

Questo ha due conseguenze immediate ma fondamentali:

• [math]AH = HB[/math]
  e questo rende CH anche mediana relativa alla base AB


• [math]A\widehat{C}H = B\widehat{C}H [/math]
  e ciò ci assicura che CH è bisettrice dell'angolo al vertice

Il teorema è dimostrato, e possiamo anche aggiungere che su tale segmento CH saranno allineati il punto d'incontro delle mediane, delle altezze e delle bisettrici del triangolo.

Per ulteriori approfondimenti sui criteri di congruenza dei triangoli vedi anche qua

Le mediane nel triangolo equilatero

Come sappiamo, il triangolo equilatero è un poligono regolare. Per esso, e per le sue mediane, valgono tutte le considerazioni fin qui svolte e anche qualcuna in più.

Una volta osservato quanto accade per un triangolo isoscele possiamo, con un procedimento pressoché identico, estendere il teorema appena dimostrato anche al triangolo equilatero, giungendo alla conclusione - in virtù del fatto che esso è un poligono regolare, e quindi ha angoli e lati tutti uguali - che in esso le tre mediane coincidono con le altezze e le bisettrici.



Oltre alla mediana, riepiloghiamo alcune definizioni delle componenti di un triangolo:

• si definisce altezza relativa ad un lato di un triangolo, il segmento che congiunge quel lato al vertice opposto, tracciato in modo che sia perpendicolare al lato stesso;


• si definisce bisettrice di un angolo interno di un triangolo il segmento che congiunge il vertice dell'angolo al lato opposto, tracciato in modo da dividere l'angolo in due parti uguali


• si definisce asse di un lato il segmento, perpendicolare al lato stesso, che lo divide in due parti uguali.

Ricorda anche che ogni triangolo possiede alcuni punti notevoli:

1. il baricentro, cioè il punto di incontro delle mediane, di cui abbiamo parlato in questi appunti;


2. l'ortocentro, cioè il punto di incontro delle altezze;


3. l'incentro, cioè il punto di incontro delle bisettrici;


4. il circocentro, cioè il punto di incontro degli assi.

Il triangolo equilatero è una figura molto particolare, perché in esso tutti e quattro questi punti notevoli coincidono.

Per ulteriori approfondimenti sui triangoli equilateri vedi anche qua