Ominide 1952 punti

Punti notevoli in un triangolo isoscele

I punti notevoli di un triangolo sono:
  • l'ortocentro, punto di incontro delle altezze;
  • il baricentro, punto di incontro delle mediane;
  • l'incentro, punto di incontro delle bisettrici;
  • il circocentro, punto di incontro delle assi.

Nel caso del triangolo equilatero, ortocentro, baricentro, incentro e circocentro coincidono. Nel caso del triangolo isoscele, invece, giacciono tutti sulla stessa retta.
Proviamo a dimostrare ciò.
Dimostrazione
Parte 1
Sia ABC un triangolo isoscele di base BC. Traccio la mediana relativa al lato BC, bisogna dimostrare che essa è anche asse e altezza di BC; bisettrice di BAC∠.
Sia M il punto medio di BC, e AM la mediana di BC.
Considero i triangoli ABM e AMC.
Essi hanno:
  1. lato AM in comune;
  2. BM ≅ MC;
  3. AB ≅ AC;
  4. Allora, per il 3° criterio di Congruenza dei Triangoli:
  5. ABM∠ ≅ ACM∠
  6. BAM∠ ≅ MAC∠
  7. AMB∠ ≅ AMC∠
Abbiamo pertanto dimostrato che gli angoli BAM∠ e MAC∠ sono congruenti, il che ci può far affermare con certezza che AM è bisettrice di BAC∠. Inoltre, essendo BMC un angolo di 180°, avendo dimostrato che AMB∠ ≅ AMC∠, allora AMB∠ = 90° come anche AMC∠. AM è quindi anche asse di BC.
Tutti i punti notevoli di ABC dovranno necessariamente trovarsi necessariamente su AM.
Non possiamo dimostrare che si incontrano tutti nel medesimo punto poiché tracciando la mediana relativa al lato AB (che parte dal punto medio N), non si riesce a dimostrare la congruenza dei triangoli ANC e NBC.
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