Quali sono i punti notevoli nel triangolo isoscele

In quest'appunto di matematica sono descritti i principali punti notevoli, il loro posizionamento all'interno dei triangoli isosceli e la loro utilità.

Quali sono i punti notevoli di un triangolo

Si chiamano punti notevoli i punti di un triangolo aventi un determinato ruolo. Essi possono essere esterni o interni e possono assumere una posizione diversa a seconda della tipologia del triangolo considerato.
In generale, i punti notevoli di un triangolo sono:

• l'ortocentro, punto di incontro delle altezze, ossia segmenti perpendicolari che uniscono gli angoli al vertice alla rispettiva base
• il baricentro, punto di incontro delle mediane, cioè dei segmenti che partono da un angolo al vertice e intersecano il lato opposto nel suo punto medio
• l'incentro, punto di incontro delle bisettrici, ossia dei segmenti che dividono perfettamente in due l'ampiezza di un angolo.
• il circocentro, punto di incontro degli assi
, cioè delle rette passanti perpendicolari passanti per il punto medio di un lato

Proprietà, punti notevoli e formule sui triangoli isosceli

Nel caso dei triangoli isosceli, i punti notevoli godono di proprietà particolari. Ricordiamo che i triangoli isosceli sono triangoli aventi due lati e due angoli congruenti: per questo motivo, sono considerati triangoli isosceli anche i triangoli equilateri, i quali verranno inclusi in questa trattazione.

Per quanto riguarda le grandezze principalmente richieste dagli esercizi, ossia area e perimetro, la loro formula è praticamente analoga a quella del caso generale. L'area si calcola infatti come il semiprodotto tra la base e l'altezza del triangolo, mentre il perimetro come la somma di tutti i lati. Essendo, però, due lati congruenti, quest'ultimo può essere calcolato in modo più semplice, cioè sommando la base al doppio del lato obliquo.

Nei triangoli equilateri ortocentro, baricentro, incentro e circocentro coincidono. Ciò significa che tutti i punti notevoli si sovrappongono (e quindi "cadono" nello stesso punto). Anche nel caso del triangolo isoscele essi sono collegati da una proprietà particolare: sono collocati tutti sulla stessa retta.
Questa proprietà può essere facilmente dimostrata: vediamo come.

Come dimostrare che, nel caso dei triangoli isosceli, tutti i punti notevoli sono posizionati sulla stessa retta

Sia

un triangolo isoscele di base . Traccio la mediana relativa al lato : bisogna dimostrare che essa è anche asse e altezza di e bisettrice dell'angolo .
Sia il punto medio - cioè il punto che divide il segmento in due parti uguali - di e la mediana di .

Dopo questa costruzione, considero poi i due triangoli

e .
Essi sono caratterizzati da:

• il lato
  [math]AM[/math]
  in comune
• i lati
  [math]BM[/math]
  e
  [math]MC[/math]
  sono congruenti
• i lati
  [math]AB[/math]
  e
  [math]AC[/math]
  sono congruenti

Allora, per il 3° criterio di Congruenza dei Triangoli - il quale afferma che se, dati due triangoli, questi hanno tutti e tre i lati rispettivamente congruenti essi sono due triangoli congruenti - possiamo dire che:

• gli angoli
  [math]ABM[/math]
  e
  [math]ACM[/math]
  sono congruenti
• gli angoli
  [math]BAM[/math]
  e
  [math]MAC[/math]
  sono congruenti
• gli angoli
  [math]AMB[/math]
  e
  [math]AMC[/math]
  sono congruenti

Abbiamo pertanto dimostrato che gli angoli

e sono congruenti, il che ci può far affermare con certezza che sia bisettrice dell'angolo , essendo per definizione la bisettrice la semiretta che divide perfettamente in due un angolo. Inoltre, essendo un angolo di 180°, avendo dimostrato che gli angoli e sono congruenti, allora l'angolo , così come anche l'angolo . è quindi anche asse di .

Tutti i punti notevoli del triangolo

dovranno necessariamente trovarsi necessariamente su .
Non possiamo dimostrare che si incontrano tutti nel medesimo punto poiché tracciando la mediana relativa al lato (che parte dal punto medio), non si riesce a dimostrare la congruenza dei triangoli e .

Per ulteriori approfondimenti sui punti notevoli dei triangoli isosceli vedi anche qua