Ominide 1939 punti

Triangolo equilatero - Punti notevoli

Sappiamo molto bene che cosa sono i punti notevoli. In ogni triangolo distinguiamo quattro punti notevoli:
  • Ortocentro (punto di incontro delle altezze);
  • Baricentro (punto di incontro delle mediane);
  • Incentro (punto di incontro delle bisettrici);
  • Circocentro (punto di incontro degli assi);
La cosa più importante da dire è che, in un triangolo equilatero, questi punti sono coincidenti. Infatti, assi, mediane, altezze e bisettrici coincidono. Ma, detto ciò, dimostriamolo!

Dimostrazione
Tracciamo la mediana relativa al lato BC. E chiamo F il punto tale che
[math]AF ∩ BC[/math]
{F}.
Ora considero i triangoli ABF e AFC. Essi hanno
  1. AF lato comune
  2. AB ≅ AC per ipotesi
  3. BF ≅ FC
  4. Allora per il terzo criterio di congruenza:
  5. ABF∠ ≅ ACF∠
  6. BFA∠ ≅ AFC∠
  7. BAF∠ ≅ FAC∠
Siccome BFA∠ ≅ AFC∠ per dimostrazione precedente: siccome l'angolo BFC = 180º, allora AF è anche altezza rispetto al lato BC, e conseguentemente anche l'asse. AF è anche la bisettrice di BAC∠ , in quanto abbiamo dimostrato che BAF∠ ≅ FAC∠. Ciò ci fa dire che i punti notevoli giacciono sicuramente sulla stessa retta.
Considero ora i triangoli ABE ed EBC. Abbiamo:
  1. AB ≅ BC;
  2. AE ≅ EC;
  3. BE lato comune.
  4. Per il terzo criterio di congruenza:
  5. BEA∠ ≅ BEC∠ ;
  6. EBA∠ ≅ EBC∠ ;
  7. BCE∠ ≅ BAE∠ ;
Allora si dimostra che BE è altezza, asse e mediana del lato AC. Inoltre BE è bisettrice di ABC perché abbiamo dimostrato la congruenza di EBA∠ e EBC∠ .
Quindi abbiamo dimostrato che le altezze, le assi, le bisettrici e le mediane del triangolo ABC coincidono. La conseguenza è che in un triangolo equilatero, i punti notevoli coincidono!
Corollario
Siccome le mediane sono equivalenti alle assi, per il Teorema del Baricentro, il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo equilatero è il doppio della circonferenza inscritta in esso. Il raggio della circonferenza inscritta misura un terzo dell'altezza, mentre il raggio della circonferenza circoscritta due terzi. Il raggio della circonferenza inscritta misura
[math]\frac{√ 3}{6}l[/math]
, dove l è il lato.
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