Punti notevoli di un triangolo equilatero

Conoscere la posizione dei punti notevoli di un triangolo può risultare vantaggioso nella risoluzione di alcuni problemi di geometria. Ortocentro, baricentro, incentro e circocentro nel triangolo equilatero coincidono tutti con un unico punto; esaminiamo questa proprietà del triangolo equilatero.

Generalità sui triangoli

I triangoli sono poligoni convessi con tre lati e tre angoli, e possono essere classificati in base a due differenti criteri, ponendo l’attenzione sui lati oppure sugli angoli interni.
In base ai lati i triangoli sono distinti in:

• scaleno, con tutti i lati diversi tra loro;
• isoscele, con due lati congruenti tra loro;
• equilatero, con tutti i lati congruenti tra loro.

In base ai loro angoli interni abbiamo invece la seguente classificazione:

• acutangolo, con tutti gli angoli minori di 90°.
• rettangolo, con un angolo di 90°.
• ottusangolo, con un angolo maggiore di 90°.
• equiangolo, con tutti gli angoli congruenti tra loro.

Un triangolo equilatero è quindi un poligono convesso con tre lati congruenti e tre angoli congruenti ciascuno con un’ampiezza di 60°.

Ricordiamo a tal proposito che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale ad un angolo piatto.

Altezza, mediana, bisettrice e asse

In ogni triangolo si definisce altezza relativa a un lato il segmento condotto dal vertice opposto perpendicolarmente al lato considerato, in ogni triangolo è possibile tracciare tre altezze.
Non sempre l’altezza di un triangolo cade all’interno, ad esempio nel triangolo ottusangolo, due altezze Intersecano i rispettivi lati opposti nei prolungamenti esterni.
Il segmento condotto da un vertice al punto medio del lato opposto è detto mediana relativa a quel lato, al pari delle altezze anche le mediane sono tre e sono sempre interne al triangolo.
In un triangolo si definisce bisettrice di un angolo interno la parte di bisettrice compresa tra il vertice e il lato opposto, anche le bisettrici sono tre e sono sempre interne al triangolo.
Si definisce asse di un lato del triangolo, la retta perpendicolare al lato considerato e passante per il suopunto medio.

Punti notevoli di un triangolo

In un triangolo le tre altezze o i loro prolungamenti, nel caso siano esterne, si incontrano in un unico punto detto ortocentro, indicato con la lettera O. Per quanto visto sopra, nel triangolo ottusangolo l’ortocentro è esterno ad esso.
In un triangolo le tre mediane si incontrano in uno stesso punto detto baricentro indicato con la lettera G.
In un triangolo le tre bisettrici si incontrano in uno stesso punto detto incentro e indicato solitamente con la lettera I.
Il punto di incontro degli assi di un triangolo è detto circocentro ed Indicato con la lettera C.
Il teorema sulla posizione dei punti notevoli di un triangolo, è dovuto al grande matematico svizzero Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero. Il teorema afferma che: ortocentro, baricentro e circocentro di un triangolo qualsiasi sono sempre allineati.
Questi tre punti giacciono su una stessa retta detta retta di Eulero.
Ricordiamo che tra i punti notevoli vi è anche l'excentro, che è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni di un triangolo con la bisettrice dell’angolo interno non adiacente a essi.
L'excentro di un triangolo è il centro di una circonferenza exinscritta al triangolo stesso. Ogni triangolo ha ovviamente tre excentri e sono tutti esterni al triangolo. Questi tre excentri sono a loro volta i centri di circonferenze tangenti esternamente al triangolo. Vale un teorema a riguardo, per il quale sia ha che: date tre rette formanti un triangolo non degenere, esistono quattro circonferenze contemporaneamente tangenti a tutte e tre le rette: quella iscritta nel triangolo, e altre tre, tangenti ad un lato ed al prolungamento degli altri due.
Queste circonferenze si dicono exinscritte.

Teoremi e corollari validi nel triangolo equilatero

Un triangolo equilatero può essere visto come un triangolo isoscele su tre basi diverse, pertanto vale il teorema della bisettrice. Inoltre da questo teorema e dal teorema del triangolo isoscele si deducono due importanti corollari.

Corollario 1
Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equilatero è che abbia tutti gli angoli congruenti.
Corollario 2
In un triangolo equilatero ogni bisettrice è anche mediana e altezza.
Tra i punti notevoli di un triangolo, alcuni permettono di trovare la circonferenza circoscritta e quella inscritta.
Il circocentro, punto di intersezione degli assi dei lati di un triangolo, è il centro della circonferenza circoscritta.
L’incentro, punto d’incontro delle bisettrici di un triangolo, è il centro della circonferenza inscritta.

Punti notevoli nel triangolo equilatero

. Anche nel triangolo equilatero, visto come particolare triangolo isoscele vale il teorema.
Di conseguenza abbiamo la coincidenza di incentro baricentro e ortocentro. Inoltre nel triangolo equilatero gli assi coincidono con le altezze perciò anche il circocentro coincide con gli altri tre punti.
Possiamo affermare che: in un triangolo equilatero i quattro punti notevoli sono tutti coincidenti e il punto che li individua è sia il centro della circonferenza circoscritta al triangolo che di quella inscritta.
Non tutti i poligoni infatti possono essere circoscritti o inscritti ad una circonferenza.
Un poligono se è inscritto in una circonferenza allora gli assi dei suoi lati si incontrano nel centro della circonferenza, questo accade nel triangolo equilatero.
Se un poligono è circoscritto a una circonferenza allora le bisettrici dei suoi angoli si incontrano nel centro della circonferenza circoscritta.
Anche questo si verifica nel triangolo equilatero.

Per ulteriori approfondimenti sui punti notevoli di un triangolo puoi vedere anche qui

Area e perimetro di un triangolo equilatero

Il perimetro del triangolo equilatero è dato dalla somma dei suoi tre lati:

L’area del triangolo equilatero è data dal semiprodotto della base per l’altezza:

La metà di un triangolo equilatero è un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e 60°. In virtù di ciò si può esprimere la misura dell'altezza in funzione di quella del lato:

poiché anche la misura della base è sempre uguale a quella del lato, possiamo scrivere la formula dell’area solo in funzione del lato stesso: