Multipli di 7: regole e formule

In questo appunto di matematica parliamo di come determinare i multipli del numero 7 e in generale di un qualsiasi numero naturale. Si può procedere in tre modi distinti: si può effettuare direttamente la divisione, si può optare per la scomposizione in fattori primi del numero assegnato, oppure si può applicare il criterio di divisibilità. Questo metodo è consigliato quando il numero è molto grande. Ripassiamo le definizioni di multiplo e sottomultiplo di un numero e poi attraverso alcuni esempi numerici vediamo come funziona il criterio di divisibilità.

Ogni numero reale ha infiniti multipli

Un numero reale è multiplo di un altro numero se la divisione del primo per il secondo da come resto zero. Ad esempio, i multipli del numero naturale 4 che troviamo nella tabellina sono:

È possibile effettuare una divisione con resto zero tra ciascuno di questi numeri è il quattro.
Ma quanti sono i multipli di quattro?
Ne esistono infiniti altri. Attraverso l’operazione di moltiplicazione possiamo trovare per ogni numero diverso da 0, tutti i multipli che vogliamo. Moltiplicando il numero per i numeri interi da zero a 10 otteniamo i multipli contenuti nella tabellina, moltiplicando per i numeri da 11 in poi troviamo tutti gli altri multipli.

• 4×11=44
• 4×12=48
• 4×13=52
• 4×14=56
• [math]4xn=4 n[/math]

Multipli e sottomultipli un numero naturale

Per rispondere ad un problema di questo tipo occorre conoscere i multipli e i divisori di un numero.
Il multiplo di un numero naturale n è il prodotto del numero n per un altro numero naturale diverso da zero. In simboli:

• [math]n\times 1=n[/math]
• [math]n\times 2=2\cdot n[/math]
• [math]n\times 2=3\cdot n[/math]
• e così via…

Se dividiamo per 4 tutti i numeri che lo precedono, osserviamo che non tutte le divisioni danno resto zero:

• [math]4:1=4 \to R=0[/math]
• [math]4:2=2 \to R=0[/math]
• [math]4:3=1 \to R=1[/math]
• [math]4:4=1 \to R=0[/math]

I numeri 1, 2, 4, risultati delle divisioni con resto zero, sono divisori di 4.
In maniera analoga possiamo dire che 4 è multiplo dei suoi divisori.
I divisori di un numero sono anche sottomultipli di quel numero.
Un numero a è divisibile per un altro numero b se a è multiplo di b.
I divisori o sottomultipli di un numero sono in numero finito e si indicano come segue, ad esempio per il numero 4, sono tre:

Ogni numero è divisore di se stesso.
L'unità è divisore di tutti i numeri.
Un divisore di un numero lo è anche di tutti i suoi multipli.
Ora possiamo rispondere al quesito: Emma può utilizzare solo contenitori da 3 o da 4 scomparti; infatti 24 è multiplo di 3 e di 4, ma non di 9.
Per ulteriori approfondimenti sui numeri primi vedi qua

Multipli e divisori di 7

Per quanto visto sopra, per ottenere i multipli di 7 bisogna moltiplicare il numero 7 per ciascuno dei numeri naturali. Utilizzando i numeri da zero a 10 abbiamo i multipli di 7 che si trovano anche nella tavola pitagorica:

Continuando a moltiplicare per i numeri successivi al 10 si possono ottenere tutti gli infiniti multipli del numero 7, in modo del tutto analogo a quanto visto per i multipli del numero 4. È possibile avere anche multipli negativi basta moltiplicare per i numeri relativi cioè quelli dell'insieme

.

• 7×11=77
• 7×12=84
• ×13=91
• 7×(-1)=-7
• 7×(-2)=-14
• 7×(-3)=-21
• [math]7 \times n=7 n[/math]

.
Se dividiamo per 7 tutti i numeri che lo precedono, osserviamo che non tutte le divisioni danno resto zero:

• [math]7:1=7 \to R=0[/math]
• [math]7:2=3 \to R=1[/math]
• [math]7:3=2 \to R=1[/math]
• [math]7:4=1 \to R=3[/math]
• [math]7:5=1 \to R=2[/math]
• [math]7:6=1 \to R=1[/math]
• [math]7:7=1 \to R=0[/math]

I numeri 1 e 7, risultati delle divisioni con resto zero, sono divisori di 7. Gli altri non lo sono.
Per ulteriori approfondimenti sull'insieme Z vedi qua

Come stabilire se un numero è multiplo di 7

Per capire se un numero è multiplo di 7 bisogna controllare se è divisibile per esso.
Come si fa a stabilire se un numero m, è multiplo di un altro numero n?
Il generale, qualunque sia il nostro numero naturale m, possiamo farlo in tre modi distinti:

• effettuare direttamente la divisione tra m ed n, se il resto è zero allora abbiamo un multiplo del numero n
• effettuare la scomposizione in fattori del numero m, se n è uno dei fattori primi allora il numero sicuramente è divisibile
• applicare un criterio di divisibilità

Determinare i multipli del numero 7 mediante la scomposizione in fattori primi

Per quanto riguarda la divisione immediata lo abbiamo visto nei paragrafi precedenti, esaminiamo ora come si fa utilizzando la scomposizione in fattori primi.
Il 7 appartiene ai numeri primi, numeri divisibili per 1 e per se stessi. Effettuando la scomposizione in fattori di un numero assegnato, se tra questi è presente il 7 allora vuol dire che il numero dato è un multiplo di 7. Vediamo qualche esempio. Sono multipli di 7 i seguenti:

• [math]42=2\cdot 3\cdot 7[/math]
• [math]105=3 \cdot 5\cdot 7[/math]
• [math]245= 5\cdot 7^2[/math]
• [math]441=3^2\cdot 7^2[/math]

Non sono multipli i seguenti:

• [math]18=2 \cdot 3^2[/math]
• [math]24=2^3 \cdot 3[/math]
• [math]117= 3^2 \cdot 13[/math]
• [math]198=2 \cdot 3^2 \cdot 11[/math]

Applicando il criterio di divisibilità per 3, sappiamo che 18, 24 e 198 sono multipli di 3.

Determinare i multipli di 7 utilizzando il criterio di divisibilità

Ricordiamo che i criteri di divisibilità permettono di sapere se un qualsiasi numero intero è divisibile per un altro senza bisogno di eseguire una divisione.
Un numero è divisibile per 7, e quindi è un suo multiplo, se il valore assoluto della differenza tra il numero scritto senza la cifra delle unità è il doppio della cifra delle unità è zero, oppure 7, oppure un multiplo di 7.
Facciamo degli esempi per vedere come si applica il criterio.
Esaminiamo il numero 287.

Numero scritto senza la cifra delle unità: 28
Doppio della cifra delle unità: 2 x 14 =28
Differenza in valore assoluto: |28-14|=14
14 è multiplo di 7, perché è divisibile per esso.

Numero scritto senza la cifra delle unità: 37
Doppio della cifra delle unità: 2 x 6 =12
Differenza in valore assoluto: |37-12|=25
25 non è multiplo di 7, ma multiplo di 5.

Quando il numero è molto grande il criterio si può reiterare:
Esaminiamo il numero 4578

Numero scritto senza la cifra delle unità: 457
Doppio della cifra delle unità: 2 x 8 =16
Differenza in valore assoluto: |457-16|=441

Riapplichiamo:

Numero scritto senza la cifra delle unità: 44
Doppio della cifra delle unità: 2 x 1 =2
Differenza in valore assoluto: |44-2|=42
42 è multiplo di 7