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Criterio di divisibilità per 5 - Dimostrazione

Enunciato

L'enunciato è il seguente:
Se un numero intero N ha come ultima cifra 5 o 0, allora N è divisibile per 5.
Esempio:
765 è divisibile per 5 poiché la sua ultima cifra è 5.
8428 non è divisibile per 5 poiché la sua ultima cifra è 8.
Proviamo adesso a dimostrare questo algoritmo, dalle parole ai fatti!
Dimostrazione Criterio di Divisibilità per 5
Sia N un numero intero di k cifre. Siccome il nostro sistema di numerazione è posizionale e in base 10, allora potremo dire che:
N = a0100 + a1101 + a2102 + a3103 + ... + ak10k
Osserviamo che:
[math]10^0 ≡ 1 (mod 5)[/math]

[math]10^1 ≡ 0 (mod 5)[/math]

[math]10^2 ≡ 0 (mod 5)[/math]

...

E ogni potenza di 10 con esponente x tale che:

[math]x ≥ 1[/math]
è congrua a 0 modulo 5. Di conseguenza:
N ≡ a0 * 1 + a1 * 0 + a2 * 0 + ... + ak * 0 ≡ a0 (mod 11)
Di conseguenza, N sarà congruo alla sua ultima cifra modulo 5. Dato che le cifre di un numero in base 10 vanno da 0 a 9, bisogna scegliere tutti gli interi m tali che 5 | m. Notiamo che solo 0 e 5 soddisfano questa condizione, e allora otteniamo la tesi.
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