Insiemi numerici: l'insieme dei numeri relativi Z

In quest'appunto troverai una breve ricapitolazione sugli insiemi numerici, con un approfondimento sull'insieme Z cioè l'insieme dei numeri relativi.

Cos'è un insieme numerico e a cosa serve

Gli insiemi sono, in matematica, un gruppo di oggetti aventi una caratteristica in comune, ossia un criterio che ne permetta la classificazione in maniera oggettiva e inequivocabile.

Essi possono essere rappresentati in diversi modi:

• in maniera grafica, tramite i diagrammi di Eulero-Venn. In questo caso gli insiemi limitati sono rappresentati attraverso figure chiuse in cui sono inseriti tutti gli elementi appartenenti all'insieme
• per elencazione, ossia facendo una lista degli elementi separati da virgole e racchiuse in parentesi graffe
• attraverso l'utilizzo di una caratteristica, cioè specificando la proprietà in comune a tutti gli elementi dell'insieme

Si parla di insieme numerico quando si ha un insieme in cui gli elementi sono rappresentati da numeri. Proprio come nel caso di questi ultimi, anche gli insiemi possono essere coinvolti in operazioni. Considerando due insiemi

e

è possibile definire:

• l'unione
  [math]X\cup Y[/math]
  , cui risultato è un insieme formato da tutti gli elementi dei due insiemi uniti
• l'intersezione
  [math]X\cap Y[/math]
  , che consiste in un insieme avente tutti gli elementi che appartengono a entrambi gli insiemi coinvolti nell'operazione
• la differenza
  [math]X-Y[/math]
  , cui risultato corrisponde a un insieme formato da tutti gli elementi che appartengono al primo insieme coinvolto ma non al secondo
• il prodotto cartesiano,
  [math]X\times Y[/math]
  che è definito da tutte le accoppiate di coordinate realizzabili utilizzando gli elementi dei due insiemi coinvolti

Quali sono i principali insiemi numerici in matematica

Gli insiemi numerici presenti in matematica sono i seguenti:

• l'insieme dei numeri naturali
  [math]N[/math]
  , il quale racchiude gli interi positivi. L'insieme
  [math]N_0[/math]
  racchiude anche lo zero
• l'insieme dei numeri interi
  [math]Z[/math]
  , cioè quello che racchiude gli interi negativi e positivi, zero incluso
• l'insieme dei numeri razionali
  [math]Q[/math]
  , ossia quelli calcolabili attraverso la divisione di due numeri relativi. Anche i numeri relativi appartengono a questo gruppo
• l'insieme dei numeri irrazionali
  [math]I[/math]
  : esso comprende i non razionali, ossia quelli calcolati attraverso l'impiego della radice
• l'insieme dei numeri reali,
  [math]R[/math]
  generato dall'unione dei numeri razionali e dei numeri irrazionali
• l'insieme dei numeri complessi
  [math]C[/math]
  : questo è l'insieme più grande e include tutti i precedenti più le radici dei numeri negativi

Proprietà e caratteristiche dell'insieme dei numeri relativi Z

Come abbiamo già detto, gli insiemi numerici sono degli insiemi che raggruppano numeri aventi caratteristiche in comune. Ogni qual volta effettuiamo un'operazione, inconsciamente operiamo in uno di questi gruppi.
I numeri naturali, quelli che ci insegnano fin dalla scuola dell'infanzia, sono gli elementi dell'insieme

.

Con questi numeri alcune operazioni sono sempre possibili come l'addizione e la moltiplicazione, altre no. Ad esempio la sottrazione è possibile solo se il minuendo è maggiore del sottraendo. Se consideriamo l'insieme numerico

, possiamo eseguire la sottrazione tra 7 e 2, e otteniamo come risultato 5:

Non possiamo però sottrarre 7 a 2, ovvero:

perchè il numero -5 non c'è in

, essendo tutti positivi, ecco allora che in Z, dove ci sono anche gli interi negativi, questa sottrazione è possibile.

L'insieme

, contiene gli stessi numeri di

ma anche quelli con il segno

.
Si definisce insieme dei numeri interi positivi

, cioè preceduti dal segno

mentre quello dei numeri preceduti dal segno

, indicato con

, è detto insieme degli interi negativi. I due insiemi

e

formano complessivamente l'insieme dei numeri interi relativi, cioè

.
All'interno di

due numeri possono essere classificati in maniera diversa, a seconda del segno e del valorenumerico che presentano. Essi sono definibili come:

• coppie di numeri concordi, se questi hanno lo stesso segno. Ad esempio,
  [math]+2[/math]
  e
  [math]+7[/math]
  sono concordi)
• coppie di numeri discordi, se questi hanno segni opposti
  [math]+2[/math]
  e
  [math]-7[/math]
  sono discordi)
• coppie di numeri opposti, se questi hanno lo stesso valore assoluto ma segni opposti
  [math]+2[/math]
  e
  [math]-2[/math]
  , sono opposti)

Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi numerici vedi anche qui