In questo appunto di Matematica tratteremo la divisibilità dei numeri interi ed il numero di divisori che possiamo determinare.
Indice
Divisore di un numero e numeri primi
Consideriamo l’insieme dei numeri relativi n ∈ Z.
Dati i numeri a, b ∈ Z diremo che a è divisibile per b (con b diverso da zero) se il resto della divisione è zero. Quindi diremo che b sarà divisore di a se e solo se a : b = m dove m è un numero intero ed il resto è uguale a zero.
Analogamente diremo che, dati a, b ∈ Z (con a ≠ 0 e/o b ≠ 0), a è multiplo di b se esiste un numero k ∈ Z tale che a = k b (b lo chiameremo sottomultiplo di a).
L’insieme dei divisori di un numero è un insieme finito.
Facciamo un esempio:
se vogliamo trovare quanti sono i divisori di 24 basta eseguire una divisione e scrivere solo quei numeri che dividendo 24 danno resto 0.
1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.
In tutto sono 8 divisori.
L’insieme dei divisori di un numero può contenere numeri primi e multipli di questi.
Un numero è primo se ha per divisori solamente se stesso e l’unità.
Si osserva che un numero primo, ad eccezione del 2, non sarà mai un numero pari e l’insieme che rappresenta questa categoria di numeri è un sottoinsieme dei numeri relativi.
Per ricercare i numeri primi minori di un dato numero assegnato si usa un metodo chiamato crivello di Eratostene (matematico greco del 200 a.C.
circa). Tale metodo consiste nello scrivere tutti i numeri maggiori di 1 e minori del numero fissato e nel cancellare, successivamente, i multipli di 2 escluso il 2; i multipli di 3, escluso il 3; i multipli di 5, escluso il 5; i multipli di 7, escluso il 7 e così via considerando in ordine la successione dei numeri primi.
In questo modo risultano filtrati, dall’insieme dei numeri relativi Z, tutti i numeri che non sono primi (crivello significa filtro o setaccio).
Con tale metodo, ad esempio, si possono trovare i numeri primi minori di 100:
1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,
51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60,
61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70,
71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90,
91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
In linea generale individuare i numeri primi non è sempre facile e non esistono regole generali. Proprio per questo motivo, poiché delle volte è necessario stabilire prontamente se un numero è, o no, primo sono state compilate della apposite tabelle che elencano i numeri primi minori di un certo numero dato.
Scomposizione in fattori primi o fattorizzazione
Sia dato un numero n ∈ Z, sappiamo che tale numero può essere scritto come prodotto di almeno altri due numeri e tramite potenze di questi.
Ad esempio:
sia dato il numero 120, si ha che:
120 = (8) (3) (5) = (2^3) (3) (5)
In particolare si osserva che:
- tutti i fattori ottenuti sono numeri primi;
- il loro prodotto è uguale al numero dato.
Diremo che si è scomposto il numero in fattori primi, oppure che si è ottenuta la sua fattorizzazione.
Si tenga presente che la fattorizzazione di un numero è unica, ossia i fattori primi, il cui prodotto da il numero di partenza sono unici.
Al fine di scomporre in fattori primi un qualunque numero si devono conoscere i criteri di divisibilità dei numeri più semplici. A seguito ne elenchiamo alcuni.
Tutti i numeri divisibili per due terminano in 0 oppure 2 oppure 4 oppure 6 oppure 8.
Tutti i numeri divisibili per tre hanno 3 oppure 6 oppure 9 come somma delle cifre che li compongono.
I numeri divisibili per cinque terminano in 0 oppure 5.
Un numero è divisibile per 7 se la somma tra il doppio del numero ottenuto togliendo le ultime due cifre (decine ed unità) ed il numero composto dalle sole ultime due cifre è 7 o un multiplo di 7 (criterio da ripetere ricorsivamente).
I numeri divisibili per 10 terminano in zero.
Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è zero.
Un numero è divisibile per 13 se la somma tra il numero senza la cifra delle unità e quattro volte la cifra delle unità è multiplo di 13.
A queste regole se ne aggiungono altre.
Calcolo del numero di divisori di un numero
Partiamo da un semplice esempio.
Vogliamo scrivere quanti sono i divisori del numero 93312. Operazione che condotta manualmente non sarebbe semplice.
Cerchiamo una regola generale che ci permetta di determinare tale quantità.
Prima di tutto scomponiamo il numero 93312 in fattori primi.
Utilizzando i criteri di divisione per numeri noti si ottiene che:
93312 : 2 = 46656
46656 : 2 = 23 328
23328 : 2 = 11664
11664 : 2 = 5832
5832 : 2 = 2916
2916 : 2 = 1458
1458 :2 = 729
729 : 3 = 243
243 : 3 = 81
81 : 3 = 27
27 : 3 = 9
9 : 3 = 3
3 : 3 = 1
Quindi
93312 = 2^7 * 3^6
[/math]
Deduciamo che i divisori di 93312 non saranno altro che una combinazione di tutti i fattori primi, quindi:
93312 = (2^x) (3^y)
[/math]
dove
0 \le 7
[/math]
e
0 \le 6.
[/math]
Da quanto trovato possiamo concludere che possiamo scegliere in 8 modi la x (0;1;2;3;4;5;6;7) ed in 7 modi la y(0;1;2;3;4;5;6).
Allora, il numero 93312 ha un totale di
8*7 = 56
[/math]
divisori.
D = \frac{8!}{(8 – 2)!}
[/math]
D = \frac{40320}{720}
[/math]
D = 56
[/math]
Tale ragionamento più essere generalizzato ed esteso a tutti i numeri tramite una formula che ci permette di calcolare il numero dei divisori.
Sia n il numero di divisori di un dato numero N; siano
p_i
[/math]
(con i = 1, … ,k) i fattori primi e
x_1, … ,x_k
[/math]
l'esponente ad essi relativo.
Il numero di divisori, n di N è dato dall’espressione della seguente formula:
n = (p_1)^{x_1 + 1} * (p_2)^{x_2 + 1} . . .(p_k) )^{x_k + 1}
[/math]
per ulteriori approfondimenti sulla scomposizione in fattori vedi anche qua
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