Ancora sui criteri di divisibilità

X

– – - 1 0

ottenere n : n = 1234 2*5 = 1234 10 = 1224, ripetiamo il

1 1

procedimento con 1224 fino ad ottenere 3. Visto che questo numero non 1 2 2 4

è 7 o un suo multiplo, il numero di partenza non è divisibile per 7 -2

X

- 8

(In questo caso non è stato necessario considerare il valore assoluto della

sottrazione, però in qualche caso può essere comodo, ad esempio se 1 1 4

–

volessimo applicare questo algoritmo a 14 si otterrebbe n = |1 2*4| =

1 -2

– X

|1 8| = |-7| = 7). - 8

3

Generalizzazione

Il criterio di divisibilità per 7 si basa in realtà su un algoritmo più generale che si applica a tutti i

numeri che finiscono per 1 (11, 21, ecc) o per 9 (9, 19, ecc): per i numeri che finiscono per 1 deriva

“eccedono” la decina per un’unità,

dal fatto che questi numeri mentre per i numeri che finiscono per

9 dipende dal fatto che questi numeri “difettano” la decina per un’unità.

Nel seguito descriviamo l’algoritmo che è quasi uguale per i due tipi di numeri (differisce solo al

passo 2 seguente).

Iniziamo con qualche definizione: definiamo D il dividendo e d il divisore, che in questo caso

termina per 1 o per 9. A questo punto scomponiamo sia il dividendo che il divisore nelle 2 parti

(unità a e parte rimanente b) come descritto precedentemente ottenendo:

D = b *10 + a

D D

d = b *10 + a o d = b *10 - a con a = 1

d d d d d

Ora è possibile descrivere il procedimento:

1. moltiplicare le unità del dividendo (a ) per la parte rimanente del divisore (b ): a *b

D d D d

2. sottrarre (sommare se il divisore termina per 9) il numero ottenuto alla parte rimanente del

dividendo (b ) ottenendo un nuovo numero n :

D 1

–

n = b a *b o n = b + a *b

1 D D d 1 D D d

Se il numero ottenuto è divisibile per il divisore anche il numero di partenza è divisibile. Se n è

1

troppo grande si possono ripetere le operazioni precedenti finché è necessario.

Chiariamo il procedimento con degli esempi per i divisori 11, 21 e 9. Pagina 2

Criteri di divisibilità Marco Bono

Divisibilità per 11

Supponiamo di voler sapere se 14674 è divisibile per 11; iniziamo a costruire gli elementi necessari:

 a = 4,

D

 a = 1,

d

 b = 1467,

D

 b = 1 verifica divisibilità per 11

d

Il passo 1, nel caso particolare di 11, consiste semplicemente nel 1 4 6 7 4

considerare le unità del dividendo a = 4 (infatti a *b = 4*1);

D D d -1

X

- 4

eseguiamo quindi il passo 2, togliendo 4 dalla parte rimanente del

– –

dividendo: n = b a *b = 1467 4 = 1463.

1 D D d 1 4 6 3

Ripetiamo il procedimento con il nuovo numero ottenuto ossia -1

X

- 3

togliamo semplicemente le unità alla parte rimanente del numero

ottenendo: 1 4 3

– –

n = b a *b = 146 3*1 = 143 -1

X

2 n1 n1 d - 3

– –

e poi ancora 14 3*1 = 11 e infine 1 1*1 = 0. 1 1

Quindi 14674 è divisibile per 11. -1

X

- 1

Si noti che questo metodo è alternativo, e forse più semplice, rispetto

a quello “ufficiale”, brevemente descritto nell’introduzione. 0

Divisibilità per 21

Proviamo ora a verificare se il numero precedente 14674 è divisibile per 21. Gli elementi di

partenza sono gli stessi del caso precedente tranne b che è uguale a 2.

d –

Possiamo quindi eseguire i passi 1 e 2 precedenti per ottenere n = 1467 2*4 = 1459 e ripeterli più

1

 

– –

volte: da 1459 145 2*9 = 127 12 2*7 = -2. Quindi 14674 non è divisibile per 21.

È interessante evidenziare che, dal momento che 21 = 7*3, lo stesso criterio di divisibilità per 21

vale anche per il 7 e per il 3.

Si osserva infatti che l’algoritmo qui descritto coincide con quello del 7 e si può facilmente

verificare che lo stesso criterio si può applicare quando il divisore è 3:

al termine della procedura si possono verificare 3 casi:

1. il numero finale è = 3 o multiplo di 3, e quindi il numero di partenza è divisibile per 3

2. il numero finale è = 7 o multiplo di 7, e quindi il numero di partenza è divisibile per 7

3. il numero finale è = 0, e quindi il numero di partenza è divisibile per 3 e per 7, ossia per

21. Pagina 3

Criteri di divisibilità Marco Bono

Divisibilità per 9

Supponiamo di voler sapere se 14674 è divisibile per 9. Iniziamo, come al solito, a costruire gli

elementi necessari (ricordiamo che d = b *10 - a con a = 1, ossia 9 = 10 - 1):

d d d

 a = 4, verifica divisibilità per 9

D

 a = 1,

d

 b = 1467, 1 4 6 7 4

D

 b = 1 1

X

d + 4

Il passo 1, nel caso particolare di 9, consiste semplicemente nel 1 4 7 1

considerare le unità del dividendo a = 4 (infatti a *b = 4*1) e di

D D d 1

sommarle (passo 2) alla parte rimanente del dividendo: n = b + X

1 D + 1

a *b = 1467 + 4 = 1471.

D d 1 4 8

Ripetiamo il procedimento come indicato nello specchietto a fianco ed 1

X

otteniamo, come risultato finale 4. + 8

Quindi 14674 non è divisibile per 9. 2 2

quello “ufficiale”, 1

In realtà questo metodo è molto simile a X

+ 2

descritto nell’introduzione

brevemente in quanto corrisponde a

sommare tutte le cifre del dividendo. Dal momento che 9 = 3*3, 4

valgono le considerazioni fatte per il 21, ossia se il numero finale è 3 o

6 allora il numero di partenza è divisibile per 3, se è 9 allora è divisibile anche per 9.

A questo punto possiamo dire di avere trovato vari procedimenti per ricavare la divisibilità per tutti

i numeri!

Infatti a parte i numeri pari e quelli che terminano con 5, che sappiamo in partenza che sono

divisibili per 2 e per 5, gli altri numeri o terminano per 1 o per 9 (e possiamo applicare direttamente

la procedura descritta precedentemente) o possiamo trasformarli in numeri che terminano:

 per 1 con opportune moltiplicazioni per 3 (se il numero termina con 7) o per 7 (se il numero

termina con 3)

 per 9 con analoghe moltiplicazioni per 3 (se il numero termina con 3) o per 7 (se il numero

termina con 7).

Dopo questa trasformazione si applica l’algoritmo per i numeri che terminano con 1 (o con 9) e si

verifica se il numero finale è multiplo del nostro divisore. Ovviamente, per avere un numero

piccolo, è conveniente moltiplicare sempre per 3.

Se, ad esempio, volessimo sapere se un certo numero è divisibile per 13, come prima operazione

quindi applichiamo l’algoritmo dei numeri che finiscono

moltiplichiamo 13 per 3 ottenendo 39 e –

per 9: in questo caso moltiplichiamo le unità del dividendo per 4 (giacché 39 = 40 1) e

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