Ancora sui criteri di divisibilità

Ancora sui criteri di divisibilità

Di Marco Bono

Talvolta può essere utile conoscere i divisori di un numero senza effettuare le divisioni, anche se la diffusione delle calcolatrici elettroniche, sotto varie forme, anche virtuali, rende sempre più facile eseguire ripetuti tentativi di individuazione dei divisori semplicemente facendo varie divisioni e verificando se i risultati sono o meno numeri interi.

Tuttavia fino a qualche tempo fa (e forse qualcuno lo fa ancora ora) era possibile conoscere i divisori di un numero applicando i cosiddetti “criteri di divisibilità”, ossia eseguendo particolari algoritmi che consentono di sapere se il numero di partenza è divisibile per altri numeri senza effettuare la divisione.

I criteri di divisibilità però non sono disponibili per tutti i numeri, alcuni sono più facili da applicare, altri più difficili; ad esempio il criterio di divisibilità per il numero 2 è semplicissimo: se il numero di partenza è pari allora è divisibile per 2.

Un po’ più complicato è il criterio di divisibilità del 3: occorre sommare tutte le cifre del numero di partenza, se il risultato è divisibile per 3 allora lo era anche il primo numero.

Se il numero ottenuto come somme delle cifre è ancora troppo grande per capire se è un multiplo di 3 si può ripetere il passaggio precedente più volte fino ad ottenere un numero sufficientemente piccolo.

Ad esempio supponiamo di voler sapere se 12.345.678.901 è divisibile per 3: sommiamo le sue cifre, otteniamo 46, ripetiamo la somma per 46, otteniamo 10 che non è divisibile per 3, quindi neppure 12.345.678.901 lo era.

Altri criteri di divisibilità comuni sono quelli per il 5 (se il numero di partenza finisce con 5 o 0 è divisibile per 5) e per l’11 (se la differenza fra la somme delle cifre di posto pari e quelle di posto dispari del numero di partenza è 0, 11 o un multiplo di 11 allora è divisibile per 11).

Inoltre esistono criteri un po’ più complicati per il 7, il 13 e il 17.

In realtà è possibile avere dei criteri di divisibilità per tutti i numeri. Questi algoritmi si basano sul criterio di divisibilità del 7 che quindi vedremo più in dettaglio.

Criterio di divisibilità per il 7

La procedura da seguire per stabilire se un numero dato è divisibile per 7 è la seguente:

• Si inizia scomponendo il numero di partenza n in 2 parti: la parte delle unità a e la parte rimanente del numero (dalle decine in su) b, in modo tale che n lo si può esprimere come n = b*10 + a.
• Si moltiplicano le unità per 2.
• Si sottraggono al resto del numero e si considera il valore assoluto della sottrazione n :

1

n = |b -2*a|

1

Se n è 0 o 7 o un multiplo di 7 allora n è divisibile per 7. Se n è ancora troppo grande si possono ripetere i passi da 1 a 3 precedenti.

1 1

Criteri di divisibilità

Marco Bono

Esempio: verifica divisibilità per 7

Prendiamo n = 12345, lo scomponiamo nelle due parti a e b : a = 5, b = 1 2 3 4 5

1234, raddoppiamo le unità e le sottraiamo al resto del numero per -2

X

– – - 1 0

ottenere n : n = 1234 2*5 = 1234 10 = 1224, ripetiamo il procedimento con 1224 fino ad ottenere 3.

1 1

Visto che questo numero non 1 2 2 4

è 7 o un suo multiplo, il numero di partenza non è divisibile per 7 -2

X

- 8