Criterio di divisibilità per 3 - Dimostrazione

In questo appunto si descrive il criterio di divisibilità per tre. Alla base del concetto di divisibilità ci sono i problemi che riguardano la ripartizione, ovvero la suddivisione di un determinato numero di oggetti tra un determinato numero di soggetti. I criteri di divisibilità permettono di stabilire a priori se un numero è divisibile per un altro, ovvero se è un suo multiplo intero. Quando i numeri sono contenuti nelle classiche tabelline è facile stabilire se c’è divisibilità oppure no, quando il numero è molto grande si può evitare la divisione in colonna applicando proprio questi criteri.

Vediamo in questo appunto la dimostrazione del criterio di divisibilità per il numero 3.

Multipli e divisori di un numero, richiami

Un numero naturale è multiplo di un altro se la divisione del primo per il secondo dà come resto zero. Un numero naturale diverso da zero è a sua volta divisore di un altro numero naturale se la divisione fra quest’ultimo e il numero dato è esatta, cioè se la divisione da come resto zero.

• Il numero 5 è divisore di 25 perché
  [math]25:5=5[/math]
  con resto 0.
• Il numero 4 non è divisore di 25, perché
  [math]25:4=6[/math]
  col resto di 1.

Ad esempio i divisori del numero 40 sono solo 8:

Il numero 40 è un numero pari, quindi sicuramente è divisibile per 2, infatti, 40 contiene il numero 2, 20 volte.
Il numero 40 si trova anche nelle tabelline del 5 e in quella dell’8.
È possibile dividere il numero 40 sia per 5 che per 8, esso si ottiene dal prodotto di entrambi:

Il numero 8 a sua volta è multiplo di 4, 2 volte, perciò il numero 40 è divisibile anche per quattro.
Naturalmente non possiamo fare tutto questo procedimento ogni volta che dobbiamo stabilire se un numero è divisibile per un altro oppure no, elenchiamo allora quali sono i criteri di divisibilità per alcuni numeri primi.

Per ulteriori approfondimenti sui numeri primi vedi anche qui

Criteri di divisibilità

L’algoritmo della divisione in colonna oltre a fornire il resto e quindi a stabilire se un numero è divisore di un altro, produce sempre anche il quoziente che a volte non serve. Ad esempio quando si effettua la scomposizione in fattori primi di un numero naturale il calcolo del quoziente serve solo per i numeri primi divisori del numero dato.
I criteri di divisibilità sono delle condizioni necessarie sufficienti affinché un numero sia divisibile per un altro e da un punto di vista pratico sono molto più semplici rispetto allo svolgimento della divisione completa.
Elenchiamo di seguito i criteri di divisibilità più utilizzati.

• Un numero è divisibile per 2 quando l’ultima cifra è pari
• Un numero è divisibile per 5 quando l’ultima cifra è 0 oppure 5
• Un numero è divisibile per 4 se il numero formato dalle due cifre a destra lo è, oppure queste due cifre sono due zeri
• Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per tre
• Un numero è divisibile per 9 se la somma delle cifre è divisibile per 9
• Un numero è divisibile per 10 se la sua cifra delle unità è pari a zero
• Un numero è divisibile per 7 e se il valore assoluto della differenza tra il numero scritto senza la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è uguale a zero 0, 7, oppure un suo multiplo
• Un numero è divisibile per 11se sommando le cifre di posto dispari e poi quelle di posto pari la differenza fra il risultato maggiore e quello minore è 11 oppure un multiplo di 11. Se un numero possiede un numero pari di cifre e se le cifre vicine sono a due a due uguali, allora si tratta sempre di numeri divisibili per 11 ad esempio: 55, 1122, 889.955, etc…
• Un numero è divisibile per 13 se la somma tra il numero senza la cifra delle unità e quattro volte la cifra delle unità è 0, 13 oppure un suo multiplo
• Un numero è divisibile per 17 se il valore assoluto della differenza tra il numero scritto senza la cifra delle unità e la cifra dell'unità moltiplicata per 5, è uguale a 0, 17, o un suo multiplo.
• Un numero è divisibile per 23 se la somma tra il numero scritto senza la cifra dell’unità e 7 volte la cifra delle unità è uguale a 0, 23, o un suo multiplo.

Per ulteriori approfondimenti sul criterio di divisibilità per 11

Generalizzazione dei criteri di divisibilità

La dimostrazione del criterio di divisibilità per il numero 3 è legato alla scrittura posizionale in base 10 dei numeri.
Il nostro modo di scrivere i numeri si basa sull’uso di 10 simboli, le cifre:

I primi 10 numeri naturali sono indicati da una sola cifra, mentre per scrivere i successivi dobbiamo utilizzare una combinazione di cifre.
Ad esempio nel numero 111, ci sono tre cifre identiche ma ognuna rappresenta un valore diverso; partendo da destra, il primo 1 indica le unità, il secondo 1 le decine, il terzo 1 le centinaia.
Le cifre assumono un valore diverso a seconda della posizione in cui si trovano, per questo motivo il nostro sistema è di tipo posizionale.
Ogni numero scritto come somma di prodotti costituiti da un numero di una cifra e una potenza di 10 è un numero in forma polinomiale. Scriviamo, ad esempio, la forma polinomiale del numero 4637:

Dimostrazione del criterio

Enunciamo il teorema della divisione, in virtù del quale vale il criterio.
Per ogni coppia ordinata

(dividendo, divisore) di numeri naturali, con

, esiste una e una sola coppia ordinata

(quoziente, resto) di numeri naturali con

, tali che:

Ad esempio se la coppia (dividendo, divisore) è costituita dai numeri 32 e 5 allora la coppia (quoziente,resto) è la coppia (6,2) perché vale la relazione:

Per la dimostrazione del criterio di divisibilità facciamo riferimento ad un numero con 4 cifre scritto con le potenze di 10
Sia allora il numero:

Sviluppando le potenze abbiamo:

Le potenze di 10 non sono divisibili per tre, ma lo sono i numeri immediatamente precedenti.
Spieghiamo questo passaggio:

Il numero 1000 non è divisibile per tre ma lo è il numero 999.
Il numero 100 non è divisibile per tre ma lo è il numero 99
Il numero 10 non è divisibile per tre ma lo è il 9.

Possiamo allora riscrivere il nostro numero nel modo seguente:

Applicando le proprietà delle operazioni si ottiene la seguente scrittura:

[math](a_3a_2a_1a_0)_{10}=(999a_3+99a_2+9a_1)+(a_3+a_2+a_1+a_0)[/math]
[math]=9(111a_3+11a_2+a_1)+(a_3+a_2+a_1+a_0)[/math]

Il numero

è divisibile per 3 e per 9, quindi il numero

è divisibile per 3 se, e solo se, lo è la somma

.
Proprio come afferma il criterio di visibilità per tre.

Per ulteriori approfondimenti sui metodi di scomposizione vedi qua

Esempi di applicazione del criterio
Verifichiamo la divisibilità dei numeri 753 e 865.
Il numero 753 è divisibile per 3 perché 7+5+3=15, e 15 è divisibile per tre.
Il numero 865 non è divisibile per 3 poiché effettuando la somma delle cifre si ha 8+6+5=17.
Il risultato non è divisibile per 3.