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Criterio di divisibilità per 3 - Dimostrazione


Sappiamo molto bene che un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3.
Esempio
753 è divisibile per 3 poiché 7 + 5 + 3 = 15.
Infatti 15 è divisibile per 3.
865 non è divisibile per 3 poiché 8 + 6 + 5 = 17.
17 non è infatti divisibile per 3.
Proviamo adesso a dimostrare questo criterio.
Dimostrazione del Criterio di Divisibilità per 3.
Sia
[math]N[/math]
un numero intero composto da
[math]k[/math]
cifre decimali. Sfruttando la notazione posizionale possiamo scrivere:
N = a0100 + a1101 + a2102 + ... + ak10k, dove a rappresenta la cifra di N.
Verifichiamo le congruenze modulo 3 delle potenze di 10.
Allora scriveremo che:
[math]10^0 ≡ 1(mod 3)[/math]

[math]10^1 ≡ 1(mod 3)[/math]

[math]10^2 ≡ 1(mod 3)[/math]
...
[math]10^k ≡ 1(mod 3)[/math]
Poiché moltiplicando 1 per 1 all'infinito, si otterrà sempre e soltanto 1.
Allora si può scrivere anche che N
[math]≡[/math]
a0100 + a1101 + ... + ak10k (mod 3)
Avendo rilevato che tutte le potenze di 10 sono congrue ad 1 modulo 3, e un numero moltiplicato per 1 dà sempre sé stesso, possiamo scrivere che
N
[math]≡[/math]
a1 + a2 + ... ak (mod 3)
Ne segue che per determinare la congruenza modulo 3 di N, bisogna calcolare la somma delle cifre di N.
Allora si ottiene la tesi, cioè che:
3 | N <=> 3 | a1 + a2 + a3 + ... ak
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