Divisioni in colonna: descrizioni e regole

Introduzione

In questo paragrafo impareremo che cosa significa fare una divisione, chi sono il dividendo, il divisore, il quoziente ed il resto. Ripasseremo anche il simbolo della divisione e quali sono le operazioni che serve padroneggiare bene per svolgere una divisione in modo corretto.



La divisione è un’operazione matematica che associa a due numeri, detti dividendo e divisore, un terzo numero, detto quoziente, o talvolta quoto. Il meccanismo della divisione è molto semplice: supponiamo di avere un certo numero di oggetti (pari al dividendo) e di volerli distribuire in un certo numero di gruppi più piccoli, tanti quanti ne indica il divisore. Il quoziente indicherà il numero di oggetti presenti in ciascuno dei gruppi. Non sempre, però, si avranno delle divisioni perfette: più spesso capiterà che vi sia la presenza di un resto. Supponiamo, per esempio, di dover effettuare la divisione 7:3, cioè di dover suddividere sette oggetti in tre gruppi. Si vede subito, senza fare calcoli troppo complicati, che ciascuno dei tre gruppi sarà costituito da due oggetti e che ci sarà un oggetto, il settimo, che non potrà trovare posto in nessuno dei gruppi. Diremo quindi che il quoziente della divisione è 2, il numero di oggetti presenti in ciascun gruppo, e il resto è 1.
La divisione, il cui simbolo sono i due punti (:), è l’operazione inversa della moltiplicazione. Così come la moltiplicazione è un’addizione ripetuta, la sottrazione può essere considerata una sottrazione ripetuta. D’altra parte, per poter effettuare correttamente una divisione, occorre conoscere bene altre due operazioni: la moltiplicazione e la sottrazione.

Per ulteriori approfondimenti sull'operazione di divisione vedi anche qui.

La divisione in colonna

Adesso entreremo più nel dettaglio nello svolgimento di una divisione. Occorre prestare molta attenzione nello svolgimento delle divisioni, sia di quelle più semplici che di quelle più complesse. In particolare, quando si affronta una divisione complessa, come una divisione a due cifre, è necessario utilizzare il procedimento della divisione in colonna, che qui è spiegato nel dettaglio.

Facciamo degli esempi per capire meglio in che cosa consiste una divisione. Supponiamo di dover eseguire la divisione 28:4. Tale operazione consiste all’atto di dividere il numero 28 in quattro parti uguali. Il numero 28, quello che deve essere diviso, prende il nome di dividendo. Il numero 4, cioè quello per il quale il dividendo deve essere diviso, prende il nome di divisore. Il risultato prende il nome di quoziente. Per trovare il quoziente possiamo rispondere alla domanda: in quanti gruppi da 4 posso dividere un insieme di 28 oggetti? Oppure, dal punto di vista aritmetico, per quale numero devo moltiplicare 4 per avere come risultato 28?
Per rispondere a queste domande possiamo utilizzare le tabelline, ottenendo subito il risultato, che è 7. Infatti:
4∙7=28
Possiamo dunque concludere che:
28:4=7
Diremo dunque che 7 è il risultato, cioè il quoziente, della nostra divisione.
Non sempre le divisioni forniscono un risultato esatto: talvolta può capitare che una divisione abbia un resto. È il caso, per esempio, della divisione 17:2. Dobbiamo cioè dividere il numero 17 in due parti uguali. Ciò è equivalente a trovare quel numero che, moltiplicato per 2, dia come risultato 17. Si vede subito che questo non è possibile. Infatti, ricordando la tabellina del 2, si ha che:
2∙8=16
2∙9=18
Tra i due valori che più si avvicinano a 18, scegliamo quello più basso, cioè quello che approssima 17 per difetto, quindi 8. Il risultato della divisione sarà quindi 8, ma non è finita qui. Moltiplichiamo il risultato, 8, per il divisore 2 e otteniamo come risultato 16, mentre il dividendo è 17. Questa divisione non è esatta, avrà un resto, che sarà pari alla differenza tra il 17 e 16. Tale resto è pari a 1, perché:
17-16=1
Il risultato della nostra divisione sarà dunque 8 con il resto di 1.
Finché le divisioni sono così semplici, è quasi immediato arrivare al risultato. Talvolta, però, la procedura si complica. Accade, in particolare, quando il dividendo ed il divisore divengono numeri alti, composti da più cifre. Quando ciò succede, si può ricorrere ad una procedura particolare, che è quella della divisione in colonna. Questa procedura è particolarmente utile per quelle divisioni che è molto difficile calcolare a mente, come le divisioni a due cifre.
In questa scheda illustreremo le caratteristiche della divisione in colonna, utilizzando alcuni esempi di difficoltà crescente. Per capire fino in fondo quello che c’è scritto d’ora in poi, occorrerà fare riferimento alle quattro figure presenti nel file allegato a questo stesso appunto.

Primo esempio

In questo primo esempio ci occupiamo di una divisione semplice, ma non immediata, 37:2. Ricorda che per seguire bene tutti i passi dello svolgimento della divisione devi consultare il file allegato a questi appunti, che puoi scaricare in questa pagina.

Dobbiamo dividere il numero 37 in due parti uguali. Ci è richiesto, cioè, di eseguire la divisione
37:2
Come al solito, dobbiamo trovare qual è il numero che, moltiplicato per 2, ci fornisce per risultato 37.
2∙?=37
Come sappiamo, però, la tabellina del 2 non si avvicina neanche lontanamente al numero 37, per cui dobbiamo procedere in un altro modo. Costruiamo uno schema come quello presente in figura, un piccolo castello nel quale disponiamo il numero 37, il dividendo, a sinistra ed il numero 2, il divisore, a destra. Il risultato della divisione, il quoziente, troverà posto nello spazio sotto il divisore.
A questo punto sarà sufficiente suddividere il dividendo. In questo primo esempio il dividendo è formato da due cifre, il 3 ed il 7, in quest’ordine. Ricorda che le cifre vanno sempre lette da sinistra verso destra.
Ci chiederemo: quante volte il divisore, 2, è contenuto nella prima cifra del dividendo, il 3? La risposta è: una sola volta. Infatti:
2∙1=2
2∙2=4
Come detto prima, tra i due valori prenderemo il primo, che approssima il 3 per difetto.
Scriviamo la cifra 1 nello spazio dedicato al risultato. Dopodiché moltiplicheremo questa cifra per il divisore, cioè per 2.
2∙1=2
Scriveremo questo risultato sotto il 3 ed eseguiremo la sottrazione:
3-2=1
Accanto al numero 1 appena scritto abbassiamo il 7, cioè la seconda cifra del dividendo. A questo punto dovremo eseguire la divisione 17:2.
Sappiamo che:
2∙8=16
2∙9=18
La divisione 17:2 dà quindi come risultato 8, che scriveremo accanto all’1, nello spazio dedicato al quoziente.
Moltiplichiamo 8 per il divisore 2: il risultato è 16. Scriviamo 16 sotto al 17, operiamo la sottrazione 17-16, il cui risultato è 1.
Non ci sono più cifre da abbassare, pertanto la nostra divisione è finita. Diremo che il risultato della divisione è 18, con il resto di 1.

Secondo esempio

Alziamo un po’ il livello di difficoltà, apprestandoci a risolvere la divisione 858:4. In questo caso, il dividendo è composto da ben tre cifre. Quale sarà il risultato?

Supponiamo di dover eseguire una operazione ancora più complessa: dividere il numero 858 in 4 parti uguali. Dobbiamo cioè risolvere la divisione 858:4.
Si tratta di trovare quel numero che, moltiplicato per 4, dia per risultato 858. Ma 858 è un numero troppo grande perché la tabellina del 4 possa arrivarci.
Come prima, procediamo costruendo il nostro piccolo castello, nel quale, come sempre, il dividendo è disposto a sinistra ed il divisore a destra. Il risultato dell’operazione comparirà nello spazio sotto al divisore.
Per iniziare, suddividiamo il dividendo, come nell’esempio precedente; in questo caso il dividendo è formato da tre cifre: 8, 5 ed 8.
Il primo 8 è contenuto nel 4, il divisore, due volte. Infatti 4 ∙2=8. Possiamo allora scrivere un 2 nello spazio destinato al quoziente. Eseguiamo poi la sottrazione 8-(4∙2)=0.
Accanto a questo 0 abbassiamo la seconda cifra del dividendo, cioè il 5. Dobbiamo eseguire quindi la divisione 5:4.
4∙1=4
4∙2=8
Tra i due valori sceglieremo il primo, quello che approssima il 5 per difetto. Aggiungeremo dunque un 1 nello spazio destinato al risultato. Eseguiremo quindi l’operazione 5-(4∙1)=1 e scriveremo il numero 1 nello spazio in basso a sinistra. Abbassiamo poi l’ultima cifra del dividendo, l’8. Si tratterà a questo punto di eseguire l’operazione 18:4.
Sappiamo che:
4∙4=16
4∙5=20
Tra i due valori che maggiormente si avvicinano a 18 prenderemo quello minore, il 4.
A questo punto eseguiamo l’operazione 18-(4∙4)=2.
La nostra divisione è finita, in quanto non ci sono più cifre da abbassare e, dunque, da poter dividere.
Ecco allora che il risultato (o quoziente) della nostra divisione è 214, con il resto di 2. In ogni momento sarà possibile verificare l’esattezza dei nostri calcoli. Sarà infatti sufficiente moltiplicare il quoziente per il divisore ed aggiungere a questo risultato il resto. Se il risultato ottenuto è il dividendo, la nostra divisione è corretta. Puoi controllare l’esito di questa operazione nel file allegato.

Terzo Esempio

Per questo terzo esempio, la divisione da svolgere è 495:9. Questa divisione è diversa dalle precedenti perché la prima cifra del dividendo è minore del divisore. Cosa si fa in questo caso? Scopriamolo insieme.

Supponiamo di dover eseguire una operazione ancora più complessa, 495:9. Dobbiamo cioè dividere il numero 495 in 9 parti uguali, oppure di trovare quel numero che moltiplicato per 9 dà come risultato 495.
Ancora una volta, procediamo con la costruzione del nostro piccolo castello, nel quale il dividendo è disposto a sinistra ed il divisore a destra. Il risultato dell’operazione sarà scritto nello spazio sotto al divisore.
Suddividiamo il dividendo in cifre, come negli esempi precedenti. Il nostro dividendo è formato da tre cifre: 4, 9 e 5. Tuttavia, in questo caso, la prima cifra, il 4, è inferiore al divisore, il 9. Non possiamo dunque abbassare il 4 da solo: la quantità da dividere deve essere sempre maggiore o uguale al valore del divisore.
Abbassiamo così il 4 insieme al 9. Dobbiamo pertanto eseguire la divisione:
49:9
Il 49 è contenuto nel 9 cinque volte.
Infatti:
9⋅5=45
9⋅6=54
Scriveremo dunque un 5 nello spazio destinato al risultato. Eseguiamo poi l’operazione 49−(9⋅5)=4.
Scriviamo 4 in basso a sinistra e, accanto ad esso, abbassiamo la cifra successiva, il 5. Si tratterà a questo punto di eseguire l’operazione 45:9.
Sappiamo che 9⋅5=45 e scriveremo un altro 5 nello spazio destinato al risultato.
Eseguiamo, infine, l’operazione 45−(9⋅5)=0.
La nostra divisione è finita, in quanto non ci sono altre cifre da poter abbassare. Inoltre, poiché il risultato dell’ultima sottrazione è pari a zero, la nostra divisione non ha resto. Si dice che è una divisione esatta.
Il risultato, o quoziente della nostra divisione è 55.

Quarto esempio: una divisione a due cifre

In questo quarto ed ultimo esempio risolviamo insieme una divisione a due cifre: 950:35. Cosa si fa in questo caso? Ricorda sempre di seguire la spiegazione avendo sotto agli occhi il file allegato a questa pagina.

Supponiamo di dover eseguire una operazione ancora più complessa, 950 diviso 35. Come vedi, si tratta di una divisione a due cifre. Infatti, il divisore, 35, è un numero costituito da due cifre, il 3 ed il 5.
Come di consueto, costruiamo il nostro piccolo castello e iniziamo col suddividere il dividendo nelle sue tre cifre: il 9, il 5 e lo 0. Non possiamo abbassare il 9 da solo, in quanto è minore del divisore, 35. Abbassiamo dunque il 9 insieme al 5 ed eseguiamo la divisione 95:35.



Il 95 è contenuto nel 35 due volte. Infatti:
35⋅2=70
35⋅3=105
Scriviamo 2 nello spazio destinato al risultato. Eseguiamo poi l’operazione 95−(35⋅2)=25 e scriviamo il numero 25 in basso a sinistra. Accanto ad esso abbassiamo l’ultima cifra del dividendo, cioè lo zero.
A questo punto si tratterà di eseguire l’operazione 250:35.
Sappiamo che:
35⋅7=245
35⋅8=280
Scegliamo, come al solito, il valore che approssima per difetto, cioè il 7, e lo scriviamo nello spazio destinato al risultato. Eseguiamo la moltiplicazione 35⋅7=245, scriviamo 245 sotto al 250 e calcoliamo 250-245. Il risultato è 5. Non ci sono altre cifre da abbassare: la divisione è terminata. Il suo risultato, cioè il quoziente, sarà pari a 27 con il resto di 5.

Dopo aver letto e studiato questi appunti, dovresti aver fatto qualche passo avanti nella comprensione delle divisioni. Sono operazioni talvolta insidiose, ma non così tanto difficili, con un po' di allenamento.

Per ulteriori approfondimenti sulle divisioni, per esempio quelle con la virgola, leggi anche qua