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Divisioni in colonna


La divisione è un'operazione matematica che serve per dividere una quantità in tante quantità di valore uguale. Il suo simbolo è ":". E' quindi l'operazione inversa della moltiplicazione, che è un'addizione ripetuta, e si usa quando si devono unire più quantità dello stesso valore.

Per poter effettuare una divisione è necessario conoscere molto bene altre due operazioni: la moltiplicazione (ed in particolar modo le tabelline) e la sottrazione. Vediamo di capire bene in che cosa consiste.

Supponiamo di dover eseguire la seguente operazione: dobbiamo dividere 28 in quattro parti uguali.

[math]28: 4 = ?[/math]

Il numero 28 (cioè il numero che deve essere diviso) prende il nome di dividendo. Il numero 4 (cioè il numero per cui dividere il dividendo) prende il nome di divisore. Il risultato, per il momento sconosciuto, prenderà invece il nome di quoziente.

Si tratta, in altre parole, di trovare quel numero che moltiplicato per 4 dà come risultato 28:

[math]4 \cdot ? = 28[/math]

In questo ci vengono in aiuto le tabelline, che ci fanno sapere che:

[math]4 \cdot 7 = 28[/math]

Possiamo dunque scrivere che:

[math]28: 4 = 7[/math]

Diremo allora che 7 è il risultato (o quoziente) della nostra divisione.

Talvolta le divisioni possono non generare un risultato esatto. In quel caso la divisione darà come risultato un quoziente ed un resto. Vediamo come e perchè.

Supponiamo di dover eseguire la seguente operazione: dobbiamo dividere 17 in due parti uguali.

[math]17: 2 = ?[/math]

Si tratta, in altre parole, di trovare quel numero che moltiplicato per 2 dà come risultato 17:

[math]2 \cdot ? = 17[/math]

Ma le tabelline ci fanno sapere che nessun numero risponde a questo requisito. Infatti:

[math]2 \cdot 8 = 16[/math]

[math]2 \cdot 9 = 18[/math]

Tra i due valori che maggiormente si avvicinano a 17 prenderemo quello più basso, cioè quello inferiore a 17. Come direbbero i matematici, prendiamo il valore che maggiormente gli si avvicina per difetto anziché per eccesso.

[math]2 \cdot 8 = 16[/math]

A questo punto calcoleremo la differenza tra 17 (il valore esatto) e 16 (il valore che siamo riusciti a raggiungere, e cioè il valore approssimato).

[math]17- 16 = 1[/math]

Diremo allora che il risultato (o quoziente) della nostra divisione è 8 con il resto di 1.

La divisione, come tutte le operazioni matematiche, gode di alcune proprietà e caratteristiche, che sono le seguenti:

    1) Proprietà invariantiva: Se si moltiplicano o si dividono il dividendo e il divisore della divisione per uno stesso numero, il risultato non cambia.
    2) Non è possibile dividere un numero per 0, perchè non esiste alcun numero che moltiplicato per 0 dia come prodotto il dividendo: 9: 0 = ?
    3) L' uno è l'elemento neutro della divisione, in quanto ogni numero diviso per 1 resta invariato: 9 : 1 = 9

Finchè la divisione risulta essere così semplice, è molto facile arrivare al risultato. Ma quando sia il dividendo che il divisore cominciano ad assumere valori alti (e soprattutto composti da tante cifre), questa operazione può richiedere assai più impegno. Per poterla risolvere occorre utilizzare una procedura nota come "divisione in colonna".

In questo appunto se ne illustreranno le caratteristiche, utilizzando quattro esempi di difficoltà crescente. Per capire bene questi quattro esempi occorrerà fare riferimento alle quattro figure presenti in allegato a questo stesso appunto.


Primo esempio(Figura 1 in allegato)


Supponiamo di dover eseguire la seguente operazione: dobbiamo dividere 37 in due parti uguali.

[math]37: 2 = ?[/math]

Si tratta, in altre parole, di trovare quel numero che moltiplicato per 2 dà come risultato 37:

[math]2 \cdot ? = 37[/math]

Ma la tabellina del due non arriva ad un numero così alto.

[math]2 \cdot 10 = 20[/math]

Come risolvere allora la divisione?


Procediamo costruendo una specie di "piccolo castello", come quello mostrato in figura, nel quale il dividendo è disposto a sinistra e il divisore a destra. Il risultato dell'operazione andrà invece scritto nello spazio sotto il divisore.

A questo punto sarà sufficiente "suddividere" il dividendo. Il nostro dividendo è formato da due cifre: 3 e 7, in quest'ordine. Le cifre vanno infatti sempre lette da sinistra a destra.

Il 3 (prima cifra di 37) sta nel due una volta. Infatti:

[math]2 \cdot 1 = 2 [/math]

[math]2 \cdot 2 = 4 [/math]

Come detto in precedenza, prenderemo infatti tra i due valori il primo (quello per difetto).

[math]2 \cdot 1 = 2 [/math]

Scriveremo dunque un 1 nello spazio destinato al risultato.
Poichè:

[math]2 \cdot 1 = 2 [/math]

...scriveremo questo risultato sotto il 3. Eseguiremo quindi l'operazione:

[math]3 - 2 = 1 [/math]

Accanto a questo risultato, "caleremo" l'ultima cifra, e cioè 7. Si tratterà a questo punto di eseguire la seguente operazione:

[math]17 : 2 [/math]

Come abbiamo appurato precedentemente:


[math]2 \cdot 8 = 16 [/math]

[math]2 \cdot 8 = 16 [/math]

Tra i due valori che maggiormente si avvicinano a 17 prenderemo quello più basso:

[math]2 \cdot 8 = 16[/math]

A questo punto calcoleremo la differenza tra 17 e 16.

[math]17- 16 = 1[/math]

La nostra divisione è finita, in quanto non ci sono più cifre da "calare", cioè da dividere.
Diremo allora che il risultato (o quoziente) della nostra divisione è 17 con il resto di 1.

Secondo esempio (Figura 2 in allegato)


Supponiamo di dover eseguire una operazione ancora più complessa: dobbiamo dividere 858 in 4 parti uguali.

[math]858: 4 = ?[/math]

Si tratta, in altre parole, di trovare quel numero che moltiplicato per 4 dà come risultato 858.
Ma 858 è decisamente un numero troppo alto perchè la tabellina del 4 ci possa arrivare.

Come prima, procediamo costruendo il nostro "piccolo castello", nel quale come sempre il dividendo è disposto a sinistra e il divisore a destra. Il risultato dell'operazione andrà invece scritto nello spazio sotto il divisore.

A questo punto sarà sufficiente "suddividere" il dividendo, proprio come nell'esempio precedente. Il nostro dividendo è formato da tre cifre: 8, 5 e 8.

L'8 (prima cifra) sta nel 4 due volte. Infatti:

[math]4 \cdot 2 = 8 [/math]

Scriveremo dunque un 2 nello spazio destinato al risultato.

Eseguiremo quindi l'operazione:

[math]8 - (4 \cdot 2) = 0 [/math]

Accanto a questo risultato, "caleremo" la prossima cifra, e cioè 5. Si tratterà a questo punto di eseguire la seguente operazione:

[math]5 : 4 [/math]

Sappiamo che:


[math]4 \cdot 1 = 4 [/math]

[math]4 \cdot 2 = 8 [/math]

Come detto in precedenza, prenderemo tra i due valori il primo (quello per difetto).

[math]4 \cdot 1 = 4 [/math]

Scriveremo dunque un 1 nello spazio destinato al risultato. Poichè:

[math]4 \cdot 1 = 4 [/math]

...scriveremo questo risultato sotto il 5. Eseguiremo quindi l'operazione:

[math]5 - (4 \cdot 1) = 1 [/math]

Accanto a questo risultato, "caleremo" l'ultima cifra, e cioè 8. Si tratterà a questo punto di eseguire la seguente operazione:

[math]18 : 4 [/math]

Sappiamo che:


[math]4 \cdot 4 = 16 [/math]

[math]4 \cdot 5 = 20 [/math]

Tra i due valori che maggiormente si avvicinano a 18 prenderemo quello più basso:

[math]4 \cdot 4 = 16[/math]

A questo punto calcoleremo la differenza tra 18 e 16.

[math]18- 16 = 2[/math]

La nostra divisione è finita, in quanto non ci sono più cifre da "calare", cioè da dividere.
Diremo allora che il risultato (o quoziente) della nostra divisione è 214 con il resto di 2.

In qualsiasi momento è possibile anche verificare l'esattezza dei nostri calcoli. Sarà sufficiente moltiplicare il quoziente per il divisore ed aggiungere a questo risultato il resto. Se il risultato ottenuto è il dividendo (come nell'esempio riportato in figura) la nostra divisione è corretta.

Terzo esempio(Figura 3 in allegato)


Supponiamo di dover eseguire una operazione ancora più complessa: dobbiamo dividere 495 in 9 parti uguali.

[math]495: 9 = ?[/math]

Si tratta, in altre parole, di trovare quel numero che moltiplicato per 9 dà come risultato 495.

Come prima, procediamo costruendo il nostro "piccolo castello", nel quale come sempre il dividendo è disposto a sinistra e il divisore a destra. Il risultato dell'operazione andrà invece scritto nello spazio sotto il divisore.

A questo punto sarà sufficiente "suddividere" il dividendo, proprio come nell'esempio precedente. Il nostro dividendo è formato da tre cifre: 4, 9 e 5. Poichè il 4 è inferiore a 9 (divisore), non possiamo calare il 4 da solo: la cifra da dividere deve essere sempre superiore o uguale al divisore. Lo caleremo allora insieme al 9. Si tratterà dunque di eseguire la seguente operazione:

[math]49:9[/math]

Il 49 sta nel 9 cinque volte.
Infatti:

[math]9 \cdot 5 = 45 [/math]

[math]9 \cdot 6 = 54 [/math]

Scriveremo dunque un 5 nello spazio destinato al risultato.

Eseguiremo quindi l'operazione:

[math]49 - (9 \cdot 5) = 4 [/math]

Accanto a questo risultato, "caleremo" la prossima cifra, e cioè 5. Si tratterà a questo punto di eseguire la seguente operazione:

[math]45 : 9 [/math]

Sappiamo che:

[math]9 \cdot 5 = 45 [/math]

Scriveremo dunque un 5 nello spazio destinato al risultato. Poichè:

[math]9 \cdot 5 = 45 [/math]

...scriveremo questo risultato sotto il primo 45. Eseguiremo quindi l'operazione:

[math]45 - (9 \cdot 5) = 0 [/math]

La nostra divisione è finita, in quanto non ci sono più cifre da "calare", cioè da dividere. Poichè il risultato dell'ultima sottrazione è pari a 0, la nostra divisione è in questo caso esatta.
Diremo allora che il risultato (o quoziente) della nostra divisione è 55.

Quarto esempio (Figura 4 in allegato)


Supponiamo di dover eseguire una operazione ancora più complessa: dobbiamo dividere 950 in 35 parti uguali.

[math]950: 35 = ?[/math]

Si tratta, in altre parole, di trovare quel numero che moltiplicato per 35 dà come risultato 950.

Come prima, procediamo costruendo il nostro "piccolo castello", nel quale come sempre il dividendo è disposto a sinistra e il divisore a destra. Il risultato dell'operazione andrà invece scritto nello spazio sotto il divisore.

A questo punto sarà sufficiente "suddividere" il dividendo, proprio come nell'esempio precedente. Il nostro dividendo è formato da tre cifre: 9, 5 e 0. Poichè anche il divisore è composto da due cifre, non possiamo calare il 9 da solo: abbiamo detto prima che la cifra da dividere deve essere sempre maggiore o uguale al divisore. Lo caleremo allora insieme al 5. Si tratterà dunque di eseguire la seguente operazione:

[math]95:35[/math]

Il 95 sta nel 35 due volte.
Infatti:

[math]35 \cdot 2 = 70 [/math]

[math]35 \cdot 3 = 105 [/math]

Scriveremo dunque un 2 nello spazio destinato al risultato.

Eseguiremo quindi l'operazione:

[math]95 - (35 \cdot 2) = 25 [/math]

Accanto a questo risultato, "caleremo" la prossima cifra, e cioè 0. Si tratterà a questo punto di eseguire la seguente operazione:

[math]250 : 35 [/math]

Sappiamo che:

[math]35 \cdot 7 = 245 [/math]

[math]35 \cdot 8 = 280 [/math]

Come detto in precedenza, prenderemo tra i due valori il primo (quello per difetto).

Scriveremo dunque un 7 nello spazio destinato al risultato. Poichè:

[math]35 \cdot 7 = 245 [/math]

...scriveremo questo risultato sotto il 250.
Eseguiremo quindi l'operazione:

[math]250 - (35 \cdot 7) = 5 [/math]

La nostra divisione è finita, in quanto non ci sono più cifre da "calare", cioè da dividere.
Diremo allora che il risultato (o quoziente) della nostra divisione è 27 con il resto di 5.

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