Operazione aritmetica di moltiplicazione

In questo appunto viene descritta in modo approfondito l’operazione aritmetica di moltiplicazione, vengono descritte le proprietà di questa operazione e vengono proposti alcuni esempi numerici.

Operazione aritmetica della moltiplicazione

La moltiplicazione è una delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) che permette di ottenere il prodotto (risultato finale) tra due numeri detti fattori se considerati insieme, oppure moltiplicando e moltiplicatore se presi uno alla volta.

Il simbolo per identificare l’operazione aritmetica di moltiplicazione è rappresentato dal segno “x” oppure dal segno “∙”.
Facciamo un esempio per comprendere meglio gli elementi che compongono la moltiplicazione:
5 x 3 = 15
I numeri 5 e 3 si trovano ai lati del segno di moltiplicazione e prendono il nome di fattori, il numero 15 a destra del segno di uguale prende il nome di prodotto o risultato finale; il numero a sinistra del segno di moltiplicazione prende il nome di moltiplicando mentre il numero a destra del segno di uguale prende il nome di moltiplicatore.

L’operazione di moltiplicazione può essere vista come un operazione di somma, si può infatti considerare la moltiplicazione come la somma del moltiplicando con sé stesso un numero di volte pari al moltiplicatore.
Consideriamo ad esempio la seguente moltiplicazione:
2x3
Tale moltiplicazione equivale alla somma del numero due con sé stesso un numero di volte pari a 3:
2x3=2+2+2=6

Moltiplicazione: proprietà

Vediamo di seguito le proprietà della moltiplicazione:
Proprietà commutativa: modificando l’ordine dei fattori il risultato del loro prodotto non cambia. È infatti indifferente moltiplicare 2 x 3 oppure 3 x 2 poiché il loro prodotto è sempre 6.
Possiamo quindi affermare che: 2 x 3 = 3 x 2 = 6
Questa proprietà vale anche nel caso di un numero di fattori maggiore di due; se infatti si ha una moltiplicazione tra 2,3,4,… fattori non è importante l’ordine in cui si riportano i fattori ma sono importanti i numeri che sono contenuti in tale operazione.

Proprietà associativa: dati tre numeri è indifferente l’ordine con cui vengono eseguite le operazioni se si tratta solo di moltiplicazioni.
(2 x 3) x 5 = (5 x 3) x 2.

Proprietà distributiva: è possibile distribuire la moltiplicazione ai vari addendi di una somma (5 + 3) x 2 = 5 x 2 + 3 x 2.
Nell’esempio riportato è possibile eseguire prima la somma tra i numeri 5 e 3 e poi eseguire la moltiplicazione con il numero 2 oppure è possibile distribuire la moltiplicazione nei numeri contenuti nella somma all’interno della parentesi. In tal modo è possibile rimuovere le parentesi ed eseguire prima le moltiplicazioni e poi la somma.

Ricordiamo inoltre che in un’espressione è prima necessario svolgere le operazioni contenute nelle parentesi (prima le parentesi tonde, poi le parentesi quadre e infine le parentesi graffe), per quanto riguarda le operazioni è invece necessario svolgere prima le moltiplicazioni e le divisioni e infine le somme e le differenze.

Elemento neutro: ogni numero moltiplicato per 1 è uguale a sé stesso
5 x 1 = 5. Il numero 1 risulta quindi essere l’elemento neutro della moltiplicazione.
L’elemento neutro si definisce come quell’elemento che se moltiplicato a qualsiasi numero, non effettua nessuna modifica e l’operazione mantiene invariato il numero.

Elemento nullo: ciascun numero moltiplicato per zero fornisce come risultato finale 0. 5 x 0 = 0
Si può facilmente notare come qualunque numero, moltiplicato per zero, fornisce come risultato zero.
Per ulteriori approfondimenti sulle espressioni con le parentesi vedi anche qua
Per ulteriori approfondimenti sulla proprietà commutativa vedi anche qua

Moltiplicazione tra elementi con segno

Prendiamo ora in considerazione l’operazione aritmetica di moltiplicazione tra due fattori con segno. Nel caso in cui entrambi i fattori, e quindi moltiplicando e moltiplicatore, presentino lo stesso segno avremo sempre un risultato positivo. Viceversa, se il segno dei due fattori è diverso tra loro allora il segno del prodotto finale sarà negativo.
Possiamo quindi espandere i vari casi e costruire la seguente lista:

• Il prodotto tra un numero positivo e un numero positivo dà come risultato un numero positivo
  
  [math]+ \cdot + = +[/math]
• Il prodotto tra un numero negativo e un numero positivo dà come risultato un numero negativo
  
  [math]- \cdot + = -[/math]
• Il prodotto tra un numero positivo e un numero negativo dà come risultato un numero positivo
  
  [math]+ \cdot - = -[/math]
• • Il prodotto tra un numero negativo e un numero negativo dà come risultato un numero positivo
  
  [math]- \cdot - = -[/math]

Il secondo e il terzo punto della lista sono correlati in quanto la divisione gode della proprietà commutativa, perciò, è equivalente avere una moltiplicazione con prima il numero positivo e poi il numero negativo e viceversa (prima il numero negativo e poi quello positivo).
La regola dei segni che si segue nel caso della moltiplicazione è la stessa che si segue nel caso della divisione.

Per fare chiarezza vediamo ora degli esempi pratici (se non è indicato il segno del numero si considera sempre positivo):
4 x 2 = 8
-1 x 5 = -5
-4 x (-8) = 32
0 x 4 = 0