Regola del trinomio particolare: come svolgerlo

In questi appunti troverai una breve introduzione sui polinomi, con un approfondimento sui trinomi. Si parlerà della regola del trinomio particolare utilizzata, in presenza di un certo tipo di condizioni, per scomporre il polinomio in un prodotto tra polinomi di grado inferiore.

Cosa sono i polinomi e perché è necessario scomporli

Conoscere le proprietà e le regole alla base dei polinomi è fondamentale in matematica per poter svolgere correttamente i calcoli.

Essi, infatti, possono comparire in equazioni ed espressioni: in questi casi, conoscere attentamente i passi da eseguire permette di giungere a soluzioni sicuramente corrette e in modo tempestivo.

I polinomi sono composti da somme algebriche di monomi non simili. I monomi, a loro volta, presentano due parti differenti: una parte letterale e una parte numerica. La caratteristica di similitudine tra monomi dipende proprio dalla prima: si definiscono simili due monomi aventi la stessa parte letterale.
I monomi

e

sono quindi simili, mentre

e

no, in quanto l'esponente della lettera

cambia.

Saper riconoscere a colpo d'occhio questa proprietà è fondamentale perché vi sono alcune operazioni per cui la condizione di similitudine è necessaria: è il caso della somma algebrica. Addizione e sottrazione, infatti, possono avvenire soltanto tra monomi simili a differenza del prodotto e della divisione, sempre applicabili.
In quest'ultimo caso, le regole da seguire sono analoghe a quelle relative alle operazioni tra potenze: il prodotto tra due potenze aventi la stessa base si effettua sommando gli esponenti, mentre la divisione viene svolta facendone la differenza.

I polinomi, inoltre, possono essere classificati seguendo due criteri:

• il grado del polinomio, ossia il massimo esponente con cui compare una certa lettera. Qualora la parte letterale dei monomi presenti sia formata da lettere diverse, è necessario definire un grado per ognuna
• il numero di monomi contenuti nel polinomio. Esistono infatti i binomi (formati da due monomi non simili), i trinomi (formati da tre monomi non simili) e così via

Come si scompongono i polinomi e in particolare i trinomi

A seconda del numero dei monomi non simili presenti al suo interno, la struttura di un polinomio può essere più o meno complicata.
Nel corso di un'espressione o di un'equazione potrebbe risultare più comodo visualizzare un polinomio sotto forma di prodotto di polinomi di grado inferiore. Per ottenere quest'ultima condizione, basta utilizzare la scomposizione.

Per scomporre un polinomio esistono diverse metodologie. Alcune, come la regola di Ruffini, possono essere applicate su tutte le tipologie di polinomio. Altre, come il trinomio particolare sono peculiari di una tipologia di polinomio.
In particolare, per i trinomi possiamo effettuare due tipi di scomposizioni:

• la risoluzione mediante equazione di secondo grado. In questo caso bisogna trattare il polinomio come un'equazione di secondo grado del tipo
  [math]ax^2+bx+c=0[/math]
  , per cui vale la formula risolutiva:
  [math]x_1,x_2= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]
  . In questo caso, le soluzioni
  [math]x_1, x_2[/math]
  possono essere distinte e reali (se il discriminante è positivo), uguali e coincidenti (in caso di discriminante nullo), complesse coniugate (discriminante negativo)
• la regola del trinomio particolare, che approfondiremo nel prossimo paragrafo

La regola del trinomio particolare: in che cosa consiste

La regola del trinomio particolare può essere applicata a un trinomio del tipo

, dove

sono due valori in particolare.
Tale trinomio può essere infatti scomposto nella forma

qualora esistano due numeri reali per cui risultino vere queste condizioni:

.

Per questo motivo, tale regola può essere spesso chiamata anche con il nome "metodo della somma e del prodotto".

Esempio svolto e commentato sui trinomi particolari

Supponiamo di dover scomporre con il metodo del trinomio particolare il seguente trinomio

.
Come abbiamo già affermato nel paragrafo precedente, per scomporre il polinomio secondo questa regola è necessario trovare due numeri che sommati o moltiplicati tra di loro mi restituiscano il numero

.

In questo caso la risoluzione è piuttosto immediata:

poiché

. Il polinomio può quindi essere riscritto come

.
Tale polinomio è un caso particolare: risulta, infatti, essere un quadrato di binomio.

Consideriamo un secondo trinomio:

. In questo caso non è possibile scomporre tale polinomio con il metodo del trinomio caratteristico. E' necessario, quindi, applicare un altro metodo.
Proviamo a procedere risolvendo tale polinomio come un'equazione di secondo grado. Anche in questo caso, questa strategia ci permetterebbe di scrivere il polinomio sottoforma di prodotto, sfruttando il valore delle radici. Affinché questo sia possibile, le radici devono essere reali quindi devo ottenere un discriminante positivo o nullo.
Applicando la formula

noto che essa mi porta a

: il discriminante è quindi un numero negativo. Tale trinomio non può, quindi, essere scomposto secondo questa strategia.

Per ulteriori approfondimenti sulla scomposizione dei trinomi vedi anche qui