Scomposizioni: come scomporre un trinomio di secondo grado

In quest'appunto troverai un'introduzione generale sulla tecniche e sull'utilità delle scomposizioni, con un approfondimento relativo alla scomposizione di trinomi di secondo grado.

Cos'è la scomposizione dei polinomi e a cosa serve

Un polinomio è dato dalla somma di monomi, ossia quantità formate da una parte numerica e una parte letterale.

In un polinomio compaiono solo monomi non simili, ciò significa che la parte letterale di tali quantità dev'essere differente.

I polinomi possono essere classificati in relazione al numero di monomi che contengono: i binomi sono polinomi formati da due monomi non simili, i trinomi da tre monomi non simili e così via. Essi possono anche essere classificati secondo il grado. Il grado di un polinomio è definibile come il grado massimo con cui compare un'incognita. Se all'interno di un polinomio è presente più di un'incognita, è possibile definire un grado per ogni incognita.

Per comprendere completamente la classificazione dei polinomi facciamo qualche esempio. Il polinomio

è un binomio di grado due, poiché sono presenti due monomi non simili (uno di parte letterale pari a

, l'altro pari a

). Il polinomio

è un trinomio perché sono presenti tre monomi non simili ma di grado tre.
La scomposizione di un polinomio è una procedura effettuata nel tentativo di riscrivere lo stesso polinomio come prodotto tra due polinomi di grado inferiore.

Per effettuare ciò esistono diverse modalità. Alcune di esse possono essere applicate soltanto in presenza di determinate tipologie di polinomi mentre alcune, come la formula di Ruffini, può essere utilizzata - in presenza delle opportune condizioni - su qualsiasi tipologia di polinomio.

Come si procede generalmente per effettuare una scomposizione

Il primo passo per scomporre un polinomio è il riconoscimento e la classificazione dello stesso. Il secondo passo riguarda lo studio del polinomio, nel tentativo di ricercare una scomposizione possibile tra i polinomi notevoli. In particolare:

• i polinomi notevoli in forma binomiale sono: differenze di quadrati, differenza di cubi, somma di cubi e somma di quadrati. Le prime tre sono scomponibili nell'insieme dei numeri reali rispettivamente come
  [math]a^2-b^2=(a+b)(a-b), a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/math]
  .
• l'unico polinomio notevole in forma trinomiale è il quadrato di binomio, scomponibile come
  [math]a^2 \pm 2ab + b^2 =(a \pm b)^2 [/math]
  . Nei paragrafi successivi approfondiremo come scomporre un trinomio di secondo grado utilizzando l'equazione o la logica dei due numeri
• l'unico polinomio notevole in forma quadrinomiale è il cubo di binomio
  [math]a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3[/math]
• l'unico polinomio notevole con sei termini è il quadrato di un trinomio, cioè
  [math]a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2[/math]

Riconoscere un polinomio notevole non è l'unica strategia per scomporre un polinomio. E' possibile inoltre effettuare, in qualsiasi polinomio e a seconda dei casi:

• il raccoglimento totale. In questo caso il polinomio è scritto come il prodotto tra due polinomi e il primo di essi risulta essere un fattore comune a tutti i monomi del polinomio iniziale
• il raccoglimento parziale. E' basato sullo stesso meccanismo del raccoglimento totale, con la differenza che il fattore comune non è scelto guardando l'intero polinomio ma parti di esso. E' applicabile solo se il numero di monomi che compongono il polinomio è un numero pari
• la regola di Ruffini. Essa si basa sulla divisione tra polinomi e monomi. Il secondo è nella forma
  [math]x-b[/math]
  in cui
  [math]b[/math]
  è lo zero del polinomio, ossia il valore che, sostituito all'incognita, permette di verificare l'identità
  [math]0=0[/math]
  . Grazie a questa regola, l'intero polinomio può essere riscritto nella forma
  [math]P(x)=A(x)\cdot B(x) + R[/math]
  in cui
  [math]A(x)[/math]
  è il monomio
  [math]x-b[/math]
  ,
  [math]P(x)[/math]
  è il polinomio di partenza e
  [math]R[/math]
  è il resto della divisione tra polinomi

Come scomporre un trinomio di secondo grado

Vediamo come scomporre un trinomio di secondo grado, spesso utilizzato nelle frazioni algebriche.
Prendiamo in considerazione il trinomio:

.

La prima strada è quella di trovare due numeri la cui somma sia

e il cui prodotto sia

. I due numeri in questione sono:

e

, infatti:

e

. Siccome il coefficiente della

è

e non

, è necessario "spezzare" il trinomio in un quadrinomio, attraverso i numeri che abbiamo ricercato:

A questo punto, messa in evidenza parziale:

Ed ecco che abbiamo scomposto il nostro trinomio come il prodotto tra due binomi.

La seconda strada è quello di risolverlo per mezzo di un'equazione, ricordando che una volta trovate le radici

e

- ossia le soluzioni dell'equazione - la formula per ottenere il trinomio è

. La risoluzione, in questo caso, viene effettuata secondo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, che prevede il calcolo del discriminante

.

, calcoliamo il discriminante:

,

.

. Otteniamo:

Scriviamo il nostro trinomio con la formula prima citata:

Per ulteriori approfondimenti sulla scomposizione dei trinomi vedi anche qui