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Teorema del resto e teorema di Ruffini


Il teorema del resto permette di determinare il resto della divisione tra due polinomi, nel caso in cui il divisore sia nella forma (x-c), senza eseguire la divisione stessa.
Per avvicinarci a questo teorema, cominciamo a riflettere su un caso particolare: calcoliamo il resto della divisione del polinomio
[math]P(x) = x^3-2x-1[/math]
per x-2, con la regole di Ruffini.
[math]
\begin{array}{c|ccc|c}
& 1 & 0 & -2 & -1 \\
2 & & 2 & 4 & 4 \\
\hline
& 1 & 2 & 2 & 3 \\
\end{array}
[/math]
.
Effettuando la divisione con la regola di Ruffini ricaviamo che il resto è uguale a 3. Osserviamo che tale resto è uguale al valore assunto dal polinomio P(x) quando x=2. Infatti:
[math]P(2) = 2^3 -2\cdot 2-1 = 8-4-1 = 3[/math]
.
Perciò: se un polinomio P(x), di grado maggiore o uguale a 1, viene diviso per (x-c(, il resto della divisione è costante e uguale a P(c).
Dimostrazione:
Il teorema della divisione con resto tra due polinomi garantisce l'esistenza di due polinomi Q(x) e R(x) tali che:
    P(x) = Q(x)(x-c)+R(x)
Poichè il divisore è di primo grado, allora o R(x) è uguale a zero o R(x) ha grado 0. In ogni caso, il resto deve essere un numero, che chiamiamo R. Deve quindi valere un'uguaglianza del tipo:
    P(x) = Q(x)(x-c)+R
Questa uguaglianza è vera per ogni valore di x. In particolare quando x=c si ha:
    P(c) = Q(c)(c-c)+R
Da cui: P(c)=R
.
Applichiamolo ora trovando il resto della divisione di
[math]P(x) = x^4-10x^2-9x+7\ diviso\ x-3[/math]
.
Poichè x-3 è del tipo x-c, con c=3, per il teorema precedente il resto è uguale a P(3). Otteniamo che:
[math]P(3) = 3^4-10\cdot 3^2-9\cdot 3+7 = 81-90-27+7 = -29[/math]
, perciò il resto è uguale a -29.
Ora proviamo a dividere P(x) per x+1.
Iniziamo a riscrivere il binomio in forma x-c. Poichè x+1=x-(-1), si ha c=-1. Quindi il resto della divisione è uguale a P(-1). Essendo:
[math]P(-1) = (-1)^4-10\cdot (-1)^2-9\cdot (-1)+7 = 1-10+9+7 = 7[/math]
, perciò il resto è uguale a 7.
.
Sappiamo ora che:
    1) un polinomio P(x) è divisibile per (x-c) se e solo se il resto della divisione di P(x) per (x-c) è uguale a 0;
    2) il resto della divisione P(x) per (x-c) è uguale a P(c).
Combinando questi due fatti, si ottiene il seguente importante criterio per stabilire se un polinomio P(x) è divisibile per un polinomio (x-c).
Un polinomio P(x) è divisibile per (x-c) se e solo se P(c) = 0.
Applichiamolo. Stabiliamo se il polinomio
[math]P(x) = 2x^3-x^2+3x-4[/math]
è divisibile per a) a-1 b) x+2.
a) Siccome x-1 è un binomio del tipo x-c, con c=1, dobbiamo controllare se P(1)=0. Abbiamo:
[math]P(1) = 2\cdot 1^3-\^2+3\cdot 1-4 = 0[/math]
, perciò P(x) è divisibile per x-1.
b)Per controllare la divisibilità per x+2, dobbiamo prima riscrivere x+2 nella forma x-c. Poichè x+2 = x-(-2), dobbiamo calcolare P(-2).
[math]P(-2) = 2\cdot (-2)^3-(-2)^2+3\cdot (-2)-4=-30[/math]
. Poichè
[math]P(-2)\ne 0[/math]
, concludiamo che P(x) non è divisibile per x+2.
.
Il teorema di Ruffini si può usare anche per controllare la divisibilità di un polinomio per un binomio del tipo ax-b.
Applichiamolo. Stabiliamo se il polinomio
[math]P(x) = 8x^3+1[/math]
è divisibile per 2x+1.
Notiamo che:
[math]2x+1=2(x+\frac{1}{2})[/math]
, quindi P(x) è divisibile per 2x+1 se e solo se è divisibile per x+1/2.
Essendo:
[math]x+\frac{1}{2} = x-(-\frac{1}{2})[/math]
, calcoliamo P(-1/2).
[math]P(-\frac{1}{2}) = 8(-\frac{1}{2})+1 = 8(-\frac{1}{8})+1 = -1+1 = 0[/math]
, perciò il polinomio P(x) è divisibile per 2x+1.
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