Teorema del resto e teorema di Ruffini

In questo appunto vengono analizzati e in parte dimostrati il teorema del resto e il teorema di Ruffini; per comprendere meglio tali teoremi viene prima proposto un ripasso della regola di Ruffini per la scomposizione dei polinomi.

Regola di Ruffini

La regola di Ruffini permette di effettuare in modo semplice la scomposizione di un polinomio di grado superiore al primo.
Proviamo ad analizzare la regola di Ruffini utilizzando un esempio; consideriamo il polinomio P(x)=x^2 + 2x + 1
Per utilizzare la regola di Ruffini è necessario costruire una tabella, come quella riportata in seguito, in cui vengono inseriti i coefficienti dei monomi contenuti nel polinomio, partendo dalla sinistra con quello di grado maggiore fino ad inserire il termine noto nella colonna più a destra, dopo la barra verticale.

.

Calcoliamo i numeri che sono divisori del termine noto (si considerano sia valori positivi che negativi), tali valori prendono il nome di radici.
Nel nostro caso il termine noto è +1 perciò le sue radici sono

.
Inseriamo una radice nello spazio in basso a sinistra, sopra alla linea orizzontale; il procedimento poi consiste nel portare in basso il coefficiente del temine di grado maggiore, moltiplicarlo con la radice considerata e riportare il valore sotto al coefficiente di grado minore, si esegue la differenza dei due coefficienti della seconda colonna e si riporta il risultato sotto alla linea orizzontale, si prosegue poi con la moltiplicazione di tale valore con la radice e si ripete il procedimento fino ad arrivare al termine noto.
Se l’ultima sottrazione ci da un risultato nullo (il numero in basso a destra è zero) allora il polinomio è divisibile per il polinomio composto da: x-radice
Provando tale procedimento per ogni radice si può risalire ai polinomi con i quali è possibile scomporre il polinomio di partenza.

Per ulteriori approfondimenti sulla regola di Ruffini vedi anche qua

Teorema del resto

Il teorema del resto permette di determinare il resto della divisione tra due polinomi, nel caso in cui il divisore sia nella forma (x-c), senza eseguire la divisione stessa.

Per avvicinarci a questo teorema, cominciamo a riflettere su un caso particolare: calcoliamo il resto della divisione del polinomio

per x-2, con la regole di Ruffini.

.

Si può notare come nella divisione con la regola di Ruffini se il polinomio che si sta considerando non contiene un termine con grado intermedio bisogna inserire lo stesso il coefficiente corrispondente a tale termine nella tabella, tale coefficiente da inserire è 0.

Effettuando la divisione con la regola di Ruffini ricaviamo che il resto è uguale a 3.

Osserviamo che tale resto è uguale al valore assunto dal polinomio P(x) quando x=2. Infatti:

.
Perciò: se un polinomio P(x), di grado maggiore o uguale a 1, viene diviso per (x-c), il resto della divisione è costante e uguale a P(c).

Dimostrazione:
Il teorema della divisione con resto tra due polinomi garantisce l'esistenza di due polinomi Q(x) e R(x) tali che:

Poichè il divisore è di primo grado, allora o R(x) è uguale a zero o R(x) ha grado 0. In ogni caso, il resto deve essere un numero, che chiamiamo R. Deve quindi valere un'uguaglianza del tipo:

Questa uguaglianza è vera per ogni valore di x. In particolare quando x=c si ha:

Da cui:

.

Applichiamolo ora trovando il resto della divisione di

.

Poichè x-3 è del tipo x-c, con c=3, per il teorema precedente il resto è uguale a P(3). Otteniamo che:

, perciò il resto è uguale a -29.

Ora proviamo a dividere P(x) per x+1.
Iniziamo a riscrivere il binomio in forma x-c. Poichè x+1=x-(-1), si ha c=-1. Quindi il resto della divisione è uguale a P(-1). Essendo:

, perciò il resto è uguale a 7.

Sappiamo ora che:

1. un polinomio P(x) è divisibile per (x-c) se e solo se il resto della divisione di P(x) per (x-c) è uguale a 0;
2. il resto della divisione P(x) per (x-c) è uguale a P(c).

Combinando questi due fatti, si ottiene il seguente importante criterio per stabilire se un polinomio P(x) è divisibile per un polinomio (x-c).
Un polinomio P(x) è divisibile per (x-c) se e solo se P(c) = 0.

Proviamo ad applicarlo:
Stabiliamo se il polinomio

è divisibile per
a) a-1
b) x+2.

a) Siccome x-1 è un binomio del tipo x-c, con c=1, dobbiamo controllare se P(1)=0. Abbiamo:

, perciò P(x) è divisibile per x-1.
b)Per controllare la divisibilità per x+2, dobbiamo prima riscrivere x+2 nella forma x-c. Poichè x+2 = x-(-2), dobbiamo calcolare P(-2).

. Poichè

, concludiamo che P(x) non è divisibile per x+2.

Il teorema di Ruffini si può usare anche per controllare la divisibilità di un polinomio per un binomio del tipo ax-b.

Proviamo ad applicarlo:
Stabiliamo se il polinomio

è divisibile per 2x+1.
Notiamo che:

, quindi P(x) è divisibile per 2x+1 se e solo se è divisibile per x+1/2.
Essendo:

, calcoliamo P(-1/2).

, perciò il polinomio P(x) è divisibile per 2x+1.

Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni tra polinomi vedi anche qua