Ominide 1951 punti

Regola Scomposizione Trinomio Caratteristico - Dimostrazione


Per scomporre un trinomio caratteristico di secondo grado della forma
[math]x^2+px+q[/math]
, bisogna trovare due numeri
[math]m[/math]
,
[math]n[/math]
tali che:
[math]m + n = p[/math]

[math]mn = q[/math]
Ed è questa la regola per scomporre un qualsiasi trinomio di questo tipo, ma perché dobbiamo trovare per forza una somma e un prodotto, e non qualcos'altro?
Proviamo a dimostrare questa regola!
Dimostrazione
Sia
[math]p(x)[/math]
un polinomio tale che
[math]deg p(x) = 2[/math]
(deg sta per degree e significa grado).
Allora
[math]p(x)[/math]
, per il Teorema Fondamentale dell'Algebra ha 2 radici complesse
[math]\alpha_1 \alpha_2[/math]
, e per Teorema di Ruffini:
[math]p(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)[/math]
, poiché
[math]\alpha_1[/math]
e
[math]\alpha_2[/math]
sono radici di
[math]p(x)[/math]
Sviluppiamo i prodotti.
[math]p(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2) = x^2-\alpha_1x-\alpha_2x+\alpha_1\alpha_2 = x^2-(\alpha_1+\alpha_2)x+\alpha_1\alpha_2[/math]
Allora si ottiene che, il polinomio
[math]p(x) = x^2+px+q[/math]
, si può scomporre come
[math](x-\alpha_1)(x-\alpha_2)[/math]
se esistono due numeri
[math]\alpha_1, \alpha_2[/math]
, tali che:
[math]\alpha_1 + \alpha_2 = p[/math]
[math]\alpha_1\alpha_2 = q[/math]
Hai bisogno di aiuto in Algebra – Esercizi e Appunti di Algebra lineare?
Trova il tuo insegnante su Skuola.net | Ripetizioni
Potrebbe Interessarti
Registrati via email