Regola Scomposizione Trinomio Caratteristico - Dimostrazione
Per scomporre un trinomio caratteristico di secondo grado della forma
[math]x^2+px+q[/math]
, bisogna trovare due numeri [math]m[/math]
, [math]n[/math]
tali che:[math]m + n = p[/math]
[math]mn = q[/math]
Ed è questa la regola per scomporre un qualsiasi trinomio di questo tipo, ma perché dobbiamo trovare per forza una somma e un prodotto, e non qualcos'altro?Proviamo a dimostrare questa regola!
Dimostrazione
Sia
[math]p(x)[/math]
un polinomio tale che [math]deg p(x) = 2[/math]
(deg sta per degree e significa grado).Allora
[math]p(x)[/math]
, per il Teorema Fondamentale dell'Algebra ha 2 radici complesse [math]\alpha_1 \alpha_2[/math]
, e per Teorema di Ruffini: [math]p(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)[/math]
, poiché [math]\alpha_1[/math]
e [math]\alpha_2[/math]
sono radici di [math]p(x)[/math]
Sviluppiamo i prodotti.[math]p(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2) = x^2-\alpha_1x-\alpha_2x+\alpha_1\alpha_2 = x^2-(\alpha_1+\alpha_2)x+\alpha_1\alpha_2[/math]
Allora si ottiene che, il polinomio [math]p(x) = x^2+px+q[/math]
, si può scomporre come [math](x-\alpha_1)(x-\alpha_2)[/math]
se esistono due numeri [math]\alpha_1, \alpha_2[/math]
, tali che:[math]\alpha_1 + \alpha_2 = p[/math]
[math]\alpha_1\alpha_2 = q[/math]
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