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Particolare trinomio di secondo grado

Il particolare trinomio di secondo grado è un trinomio della forma
[math]x^2+ax+b[/math]
, ed è generalmente scomponibile come prodotto di due binomi di primo grado (x+m) e (x+n).
La condizione necessaria e sufficiente affinché un trinomio di secondo grado sia scomponibile nell'insieme dei numeri naturali è la seguente:
Esistono due interi (m, n) tali che:
[math]m + n = a[/math]
e
[math]m * n = b[/math]
A questo punto
[math]x^2 + ax + b = (x + m)(x + n)[/math]
Dimostrazione
Sviluppando (x + m)(x + n) si ottiene
[math]x^2 + mx + nx + mn[/math]
, raccogliendo poi a fattor comune la x in m e x ottengo:
[math]x^2 + (m + n)x + mn[/math]
Ponendo poi come abbiamo detto prima (m + n) = a; m * n = b; sostituendo otteniamo
[math]x^2 + ax + b[/math]
e si ottiene il polinomio di partenza.
Esercizio svolto
Scomporre P(x) =
[math]x^2 - 4x - 21[/math]
Partiamo da 21, le uniche coppie che danno 21 sono 1 * 21; 3 * 7.
Visto che il prodotto è negativo e la somma anche, 21 sarà il prodotto di due fattori di cui uno positivo. Quello con il valore assoluto maggiore sarà negativo.
Se considero 3 e -7, notiamo che essi verificano la condizione. Allora P(x) =
[math](x-7)(x+3)[/math]
.
Per i più curiosi: Formula risolutiva delle equazioni di secondo grado
Per trovare m e n si può usare anche la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, da cui si ricavano le radici e successivamente si cambiano di segno.
La formula è, nel caso del trinomio di secondo grado:
m =
[math]\frac{-a+sqrt(a^2-4b)}{2}[/math]
n =
[math]\frac{-a-sqrt(a^2-4b)}{2}[/math]
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