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Logaritmi

[math]log_a ⁡b = x [/math]

Dati due numeri reali positivi a e b con a ≠ 1, si chiama logaritmo in base a di b l’esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b.

Il numero b viene detto Argomento del logaritmo.
Dalla definizione, supponendo a,b > 0 e a ≠1, si ricava

[math]log_a⁡1 = 0[/math]
, perché
[math]a^0 = 1[/math]

[math]log_a⁡a = 1[/math]
perché
[math]a^1 = a [/math]

[math]a^{(loga b)}= b[/math]
perché
[math]log_a⁡ b[/math]
è l’esponente a cui elevare a per ottenere b.

Proprietà dei logaritmi

Le proprietà fondamentali dei logaritmi sono tre, valide qualunque sia la base, purchè positiva e diversa da 1.

Logaritmo di un prodotto
Il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori:

[math]log_a(b\cdot c)=log_a ⁡b+log_a c[/math]

Esempio

[math]log_2⁡ (8\cdot 16)=log_2 8+ log_2 ⁡16\\
. 2^x=8\qquad 2^x= 16\\
. 2^x=2^3\qquad 2^x= 2^4\\
. x=3\qquad x= 4\\
log_2⁡ (8\cdot 16)=log_2 8+ log_2 ⁡16=3+4=7[/math]

Logaritmo di un quoziente

Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore:

[math]log_a (b/c)=log_a b-log_a ⁡c[/math]

Esempio

[math]log_3⁡ (27/9)=log_3 27-log_3 ⁡9\\
. 3^X= 27\qquad 3^X= 9\\
. 3^X=3^3\qquad 3^X=3^2\\
X=3\qquad X=2\\
log_3⁡ (27/9)=log_3 27-log_3 ⁡9=3-2= 1 [/math]

Logaritmo di una potenza


Il logaritmo della potenza di un numero positivo elevato a un esponente reale è uguale al prodotto di tale esponente per il logaritmo di quel numero positivo:
[math]log_a⁡ b^n= n\cdot log_a b[/math]

Esempio


[math]log_3⁡ 9^4= 4 \cdot log_3 ⁡9\\
. 3^x=9\\
. 3^x=3^2\\
. x=2\\ log_3⁡ 9^4= 4 \cdot log_3 ⁡9=4 \cdot 2=8[/math]

Le equazioni logaritmiche

Un’equazione si dice logaritmica quando l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo.

per risolvere l’equazione è sufficiente cercare le soluzioni di A(x)=B(x) e controllare successivamente se queste soddisfano le condizioni di esistenza.

Esempio

[math]log_{10} ⁡x - log_{10}(x+1)= log_{10} ⁡2 - log_{10} ⁡5[/math]

Condizioni di esistenza:

[math]x>0\ \vee\ x+1>0\ \Rightarrow\ x> 0[/math]

Risolvo:

[math]log_{10} x+log_{10} 5=log_{10} 2+log_{10} (x+1)[/math]

Applico la proprietà

[math]log_{10}(x\cdot 5)= log_{10}[2\cdot(x+1)]\\
5x= 2(x+1)\\
5x=2x + 2\\
5x – 2x= 2\\
3x=2\\
x=2/3[/math]

Disequazioni logaritmiche

Le soluzioni di una disequazione logaritmica si ottengono risolvendo il sistema formato da:
Le condizioni di esistenza della disequazione
La disequazione che si ottiene dalla disuguaglianza degli argomenti

Esempio

[math]log_(1/3)(4X-3)> - 1[/math]

[math]4x-3>0\ \Rightarrow\ x>3/4[/math]

La base è compresa tra 0 e 1 quindi si cambia il verso

[math]4x-3< 3\\
4x< 3+3 \\
x <3/2 [/math]


Soluzione:

[math]3/4 < x < 3/2[/math]

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