Logaritmi: definizioni, proprietà ed esempi

In quest'appunto troverai tutte le informazioni necessarie sui logaritmi, sulle loro proprietà, sulle equazioni e le disequazioni, con esempi annessi.

Cosa sono i logaritmi

I logaritmi sono un importante funzione trascendentale matematica, utilizzata per svolgere le equazioni e le disequazioni esponenziali e, in statistica, per normalizzare distribuzioni di variabili poco regolari (la cosiddetta "scala logaritmica).
La funzione logaritmo è , in cui:

• [math]a[/math]
  e
  [math]b[/math]
  sono due numeri reali positivi, con
  [math]a[/math]
  dev'essere diverso da 1


• [math]a[/math]
  è definita base del logaritmo mentre
  [math]b[/math]
  è l'argomento e
  [math]x[/math]
  è l’esponente da assegnare alla base a per ottenere il numero b

si può quindi definire che sia il risultato del logaritmo in base di .
Ci sono alcuni casi particolari in cui il risultato del logaritmo assume valore unitario o nullo. Applicando la definizione e imponendo le ipotesi a,b > 0 e a ≠1, si può ricavare che:

• [math]log_a⁡1 = 0[/math]
  , perché
  [math]a^0 = 1[/math]


• [math]log_a⁡a = 1[/math]
  perché
  [math]a^1 = a [/math]


• [math]a^{(loga b)}= b[/math]
  perché
  [math]log_a⁡ b[/math]
  è l’esponente a cui elevare a per ottenere b

Quali sono le proprietà fondamentali dei logaritmi

Le proprietà fondamentali dei logaritmi sono tre e sono valide qualunque sia la base, purchè questa sia positiva e diversa da 1. Conoscerle bene è importante, poiché permette di semplificare e di svolgere correttamente equazioni e disequazioni logaritmiche.

Come si calcola il logaritmo di un prodotto

Il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori:


Ecco un esempio di calcolo di logaritmo di un prodotto:

• [math]2^x=8 , 2^x= 16[/math]


• [math]2^x=2^3, 2^x= 2^4[/math]


• [math]x=3, x= 4[/math]


• [math]log_2⁡ (8\cdot 16)=[/math]


• [math]log_2 8+ log_2 ⁡16=[/math]


• [math]3+4=7[/math]

Come si calcola il logaritmo di un quoziente

Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore:


Ecco un esempio di calcolo del logaritmo di un quoziente:

• [math]log_3⁡ (27/9)=log_3 27-log_3 ⁡9 [/math]


• [math]3^X= 27[/math]


• [math]3^X= 9 [/math]


• [math]3^X=3^3[/math]


• [math]3^X=3^2[/math]
  
  


• [math]X=3[/math]
  
  
• [math]X=log_3⁡ (27/9)=log_3 27-log_3 ⁡9=3-2= 1[/math]

Come si calcola il logaritmo di una potenza

Il logaritmo della potenza di un numero positivo elevato a un esponente reale è uguale al prodotto di tale esponente per il logaritmo di quel numero positivo:


Ecco un esempio di calcolo di logaritmo di una potenza:

• [math]log_3⁡ (27/9)=log_3 27-log_3 ⁡9 [/math]


• [math]3^x=9 [/math]


• [math]3^x=3^2 [/math]


• [math]x=2[/math]


• [math]log_3⁡ 9^4= 4 \cdot, log_3 ⁡9=4 \cdot 2=8[/math]

Come svolgere le equazioni logaritmiche in maniera corretta

Così come le equazioni esponenziali, esistono anche le equazioni logaritmiche. Un’equazione si dice logaritmica quando l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo.
Per risolvere l’equazione è sufficiente cercare le soluzioni di e controllare successivamente se queste soddisfano le condizioni di esistenza.
Ecco un esempio svolto sulle equazioni logaritmiche:


Queste sono le condizioni di esistenza:


La risoluzione è:
.




Applico la proprietà dei logaritmi

• [math]log_{10}(x\cdot 5)= log_{10}[2\cdot(x+1)][/math]


• [math]5x= 2(x+1) [/math]


• [math]5x=2x + 2 [/math]


• [math]5x – 2x= 2 [/math]


• [math]3x=2, x=\frac{2}{3}[/math]

Come svolgere correttamente le disequazioni logaritmiche

Le soluzioni di una disequazione logaritmica si ottengono risolvendo il sistema formato da:

• le condizioni di esistenza della disequazione


• la disequazione che si ottiene dalla disuguaglianza degli argomenti

Ecco un esempio svolto sulle disequazioni logaritmiche:




La base è compresa tra 0 e 1 quindi è necessario cambiare il verso della disequazione:

• [math]4x-3<3[/math]


• [math]4x<3+3[/math]


• [math]x <3/2 [/math]

La soluzione è: .

Per ulteriori approfondimenti sui logaritmi vedi anche qua