Proprietà delle operazioni: descrizione ed esempi

Quest'appunto di matematica contiene l'elenco di tutte le proprietà delle operazioni, arricchito con le informazioni essenziali ed esempi utili alla comprensione. In fondo alla pagina puoi trovare degli esercizi utili a verificare la validità delle conoscenze apprese.

Cosa sono le proprietà delle operazioni e perché conoscerle

Uno dei concetti più importanti in matematica è il calcolo delle espressioni.

Esse non sono altro che una serie di operazioni da svolgere nell'ordine corretto per giungere a un risultato. Per risolvere nel modo giusto un'espressione bisogna non solo conoscere la procedura di calcolo delle singole operazioni, ma anche il significato delle parentesi e soprattutto le proprietà delle operazioni.

Distinguere le varie parentesi aiuta a comprendere quali calcoli devono essere svolti per primi: questo aspetto è importante poiché, come vedremo, la proprietà commutativa non vale per tutte le operazioni. Ciò significa che, se svolgiamo i calcoli nell'ordine sbagliato, il risultato ottenuto non è corretto.
Per quanto riguarda, invece, le proprietà delle operazioni, esse aiutano a semplificare il calcolo, poiché consentono di riscrivere le stesse operazioni in modo diverso.

Quali sono le proprietà delle operazioni

Ogni operazione presenta una o più proprietà tra le seguenti:

• la proprietà commutativa, secondo cui cambiando l'ordine dei numeri presenti all'interno dell'operazione (nel caso dell'addizione, ad esempio, gli addendi) il risultato non cambia, cioè
  [math]A+B=B+A[/math]
• la proprietà associativa, la quale afferma che se in un'operazione con almeno tre "numeri" (e in particolare moltiplicazione o addizione) si sostituiscono due di loro con il risultato della loro operazione (addizione o moltiplicazione) il risultato non cambia. In questo caso è molto più semplice presentare un esempio, cioè per l'addizione:
  [math]2+4+5=2+9[/math]
  e per la moltiplicazione:
  [math]2\cdot4\cdot5=2\cdot20[/math]
• la proprietà invariantiva, per cui il quoziente rimane invariato se viene moltiplicato o diviso ad entrambi i termini della divisione un numero diverso da zero. In questo caso, quindi
  [math]\frac{A}{B}=\frac{2A}{2B}[/math]
• la proprietà dissociativa, simile all'associativa. Essa afferma che è possibile sostituire, nel caso di moltiplicazione o addizione, un termine con una somma (nel caso dell'addizione) o un prodotto (nel caso della moltiplicazione) di cui è il risultato. Per l'addizione accade che
  [math]2+5=2+3+2[/math]
  , mentre per la moltiplicazione
  [math]2\cdot6=2\cdot3\cdot2[/math]
• la proprietà distributiva afferma che il prodotto per una somma o una differenza è pari alla somma dei singoli prodotti o alla somma delle singole differenze. Lo stesso discorso può essere esteso alla divisione. In particolare, un esempio è:
  [math]2\cdot(2+1)=2\cdot2+2\cdot1[/math]

Schema riassuntivo sulle proprietà di ciascuna operazione

Ecco un elenco delle proprietà e delle operazioni per cui esse valgono.

La proprietà comparativa in termini matematici

Vale per addizione e moltiplicazione

• [math]a+b = b+a[/math]
• [math]axb = bxa[/math]

La proprietà associativa in termini matematici

Vale per addizione e moltiplicazione
L'ordine con cui si moltiplica o si addiziona non è importante può variare

• [math](a+b)+c = a+(b+c)[/math]
• [math](axb)xc = ax(bxc)[/math]

La proprietà distributiva in termini matematici

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

• [math]ax(b+c)=axb+axc[/math]
• [math]es. 3x(2+4) = 3x2+3x4[/math]

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione

• [math]ax(b-c) = axb-axc[/math]

Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione

• [math](a+b):c = a:c+b:c[/math]

Proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione

• [math](a-b):c = a:c-b:c[/math]

La proprietà invariantiva in termini matematici

Vale per sottrazione e divisione
Proprietà invariantiva per la sottrazione.

Proprietà invariantiva per la divisione

Dopo aver schematizzato tutte le proprietà delle operazioni, metti in pratica la teoria appena appresa con i seguenti esercizi.

Esercizi da completare per valutare la solidità delle conoscenze appena apprese

Leggi le seguenti affermazioni e correggi quelle false (vedi soluzione in basso)

• La proprietà commutativa vale per la moltiplicazione
• La proprietà invariantiva vale per l'addizione
• La divisione gode della proprietà commutativa e anche della distributiva ma solo ed esclusivamente rispetto alla sottrazione
• Nell'espressione:
  [math]2:3=(2\cdot2):(3\cdot2)[/math]
  è stata applicata la proprietà associativa per la divisione
• Nell'espressione:
  [math]2\cdot6\cdot7=12\cdot7[/math]
  è stata applicata la proprietà associativa per la moltiplicazione

Soluzione esercizio precedente

• Vero: la proprietà commutativa vale per moltiplicazione e addizione. Infatti:
  [math]2\cdot3=3\cdot2=6[/math]
• Falso: la proprietà invariantiva non vale per l'addizione. Infatti sappiamo che
  [math]2+3=6[/math]
  ma se aggiungiamo la stessa quantità ai due addendi, abbiamo che
  [math](2+2)+(3+2)=9[/math]
• Falso: la divisione non gode della proprietà commutativa poiché
  [math]6:3=2[/math]
  mentre
  [math]3:6=0.5[/math]
  e, inoltre, la proprietà distributiva vale sia rispetto alla sottrazione che rispetto all'addizione Infatti:
  [math](24+12):6=\frac{24}{6}+\frac{12}{6}=4+2=6[/math]
  e
  [math]\frac{36}{6}=6[/math]
• Falso: la proprietà applicata è la proprietà invariantiva, poiché è stato moltiplicato al divisore e al dividendo lo stesso numero
• Vero: è stata applicata la proprietà associativa in quanto in un triplo prodotto, una coppia di fattori è stata sostituita dal risultato dell'operazione

Per ulteriori informazioni sulle proprietà delle operazioni vedi anche qua