Proprietà dissociativa dell'addizione: definizione ed esempi

In questo appunto di algebra per le scuole medie verrà illustrata in dettaglio la proprietà dissociativa dell'addizione. Dopo una breve panoramica sulle diverse proprietà dell'addizione, si scenderà in dettaglio con la definizione della proprietà dissociativa unitamente a diversi esempi numerici.

Le proprietà dell'addizione

Le proprietà dell'addizione sono quelle proprietà algebriche che caratterizzano l'operatore matematico dell'addizione.

In particolare, esse sono:

• La proprietà commutativa
• La proprietà associativa
• La proprietà dissociativa
• L'esistenza dell'elemento neutro
• L'esistenza dell'inverso additivo

Nello specifico:
La proprietà commutativa dell'addizione stabilisce che scambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia. Siano a e b dei numeri qualsiasi che rappresentano gli addendi di un'addizione, per la proprietà commutativa vale

Per la proprietà associativa dell'addizione si ha che sostituendo a due o più addendi la loro somma, il risultato non cambia. In termini degli addendi a, b, e c, quindi, possiamo scrivere come segue:

Inoltre, l'addizione è caratterizzata da un elemento neutro, ovvero un valore numerico che non altera il risultato dell'addizione. Nel caso della somma, il valore neutro è lo zero, infatti si ha che aggiungendolo ad una addizione il risultato resta invariato. In formula:

Un'altra caratteristica di cui gode l'addizione è l'esistenza dell'inverso, ossia quel valore numerico che sommato all'addendo mi restituisce un risultato nullo. Nel caso dell'addizione questo valore viene rappresentato dall'opposto, ovvero dallo stesso numero ma con segno diverso. In formula si ha:

Infine, la proprietà dissociativa, stabilisce che scomponendo un addendo in due o più addendi il risultato non cambia.

La proprietà dissociativa dell'addizione

Come abbiamo già definito, per la proprietà dissociativa la somma di più addendi non cambia se ad uno di essi ne sostituiamo altri due (o più) tali, però, che sommati diano quell'addendo. In altre parole, la scomposizione di un addendo in due o più addendi non influisce sul risultato, la soluzione dell'addizione resta invariata.
Questa proprietà, seppur molto semplice, è estremamente importante e utile per il calcolo mentale perché permette di scomporre gli addendi in quantità più piccole, e quindi più semplici da sommare.
In termini di numeri qualsiasi rappresentati da a, b, c, e d, abbiamo che:

se

Consideriamo la seguente addizione:

Sostituiamo ad un addendo, ad esempio a

, una coppia di addendi, la cui somma, ovviamente, sia ancora

:

Si potrebbe continuare e procedere scomponendo

in una coppia di addendi la cui somma sia ancora

:

Come si nota, il risultato finale resta invariato.

La proprietà dissociativa è una proprietà algebrica applicabile anche alla moltiplicazione. La proprietà dissociativa della moltiplicazione stabilisce che il prodotto di due o più fattori non cambia se ad essi si sostituiscono dei fattori che moltiplicati tra loro danno come prodotto il fattore di partenza. In termini di formule si ha che:

se

La proprietà dissociativa, dunque, vale sia per l'operazione di addizione che per quella di moltiplicazione. Invece non è applicabile alle operazioni di sottrazione e divisione. Infatti se volessimo applicarla ad esse si otterrebbe un risultato differente.
Consideriamo il seguente esempio numerico di sottrazione:

Applichiamo la proprietà dissociativa, tenendo conto che

, per cui possiamo scrivere:

In questo caso ad esempio non abbiamo ottenuto lo stesso risultato. Per ottenerlo, avremmo dovuto scrivere nel modo seguente:

e considerare che dal momento che davanti la parentesi vi è il segno -, va cambiato il segno agli elementi dentro la parentesi tonda. Pertanto si può risolvere come segue:

Consideriamo, adesso, un esempio numerico di applicazione della proprietà dissociativa alla divisione:

Tenendo conto che

, scriviamo:

Esercizi svolti

: Indica, quale proprietà è stata applicata nelle seguenti addizioni

a.

b.

c.

Dal momento che in tutte e tre le addizioni, gli addendi sono stati scomposti in coppie di addendi tali che la loro somma sia ancora l'addendo di partenza, possiamo stabilire che la proprietà dell'addizione qui applicata è la proprietà dissociativa.

Esercizio 2: Osserva le seguenti uguaglianze e scrivi "SI" se è stata applicata la proprietà commutativa, "NO" se non è stata applicata

a.

SI. In questa addizione

è stato scomposto in

.

b.

SI. Qui

viene scomposto in

c.

NO. Non è stata applicata la proprietà dissociativa in quanto nessun addendo è stato scomposto. Al contrario si è applicata la proprietà "gemella", ossia quella associativa. Infatti gli addendi

e

e il risultato dell'addizione è rimasto invariato.

d.

SI. In questa addizione i numeri

e

sono stati scomposti rispettivamente in

e

.

e.

NO. Non è stata applicata la proprietà dissociativa, al contrario si è applicata la proprietà associativa. Infatti gli addendi

e

e il risultato dell'addizione è rimasto invariato.

Esercizio 3: Calcola le seguenti somme e applica, poi, a ciascuna la proprietà dissociativa, verificando che il risultato non cambia

a.

Risoluzione:

Applicando la proprietà dissociativa si ottiene

b.

Risoluzione:

Applicando la proprietà dissociativa si ottiene

c.

Risoluzione:

Applicando la proprietà dissociativa si ottiene

d.

Risoluzione:

Applicando la proprietà dissociativa si ottiene

e.

Risoluzione:

Applicando la proprietà dissociativa si ottiene

Come si evince dalle soluzioni, l'applicazione della proprietà dissociativa, ovvero la scomposizione degli addendi tale che la loro somma mi restituisca l'addendo di partenza, non ha alterato la somma, ovvero la soluzione dell'addizione.

Per approfondimenti sulle proprietà delle operazioni, vedi qui

Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà della moltiplicazione, vedi qui