Frazioni – definizione e proprietà

In questo appunto vengono presentate le frazioni: definizione, caratteristiche, nomi particolari (frazione propria, frazione impropria, frazione apparente e unità frazionaria), proprietà e operazioni tra frazioni; ogni regola è seguita da un esempio numerico.

Le frazioni

La frazione è una o più parti di un intero, che è stato diviso in parti uguali.
Una frazione è rappresentata nel seguente modo:

I termini della frazione si chiamano: numeratore (a), denominatore (b) e linea di frazione (il trattino che separa i due numeri).
Abbiamo detto che una funzione è una o più parti di un intero, possiamo quindi immaginare di prendere un oggetto, ad esempio una torta, e dividerla in parti uguali, supponiamo di dividerla in 5 parti.
Se consideriamo solo due fette su 5 fette totali allora la parte considerata è

dell’intera torta, cioè stiamo considerando 2 fette su un totale di 5.
Il numeratore corrisponde quindi alla parte considerata mentre il denominatore corrisponde al totale, quindi al numero di parti in cui dividiamo l’oggetto intero.

Ad esempio se consideriamo la frazione

tale funzione rappresenta una delle due parti in cui viene diviso l’oggetto (dividiamo l’oggetto in due parti e ne consideriamo solo una), dato che l’intero è diviso in parti uguali, la frazione

corrisponde proprio alla metà dell’intero.

A seconda delle caratteristiche reciproche di numeratore e denominatore le frazioni acquisiscono dei nomi particolari; in seguito sono riportate alcune categorie importanti di funzioni:

1. Frazione propria
2. Frazione impropria
3. Frazione apparente

Frazione propria: si dice frazione propria quando il numeratore è minore o più piccolo del denominatore.
Un esempio di frazione propria è:

Frazione impropria: si dice frazione impropria quando il numeratore è maggiore del denominatore.
Un esempio di frazione impropria è:

Frazione apparente: si dice frazione apparente quando il numeratore e il denominatore sono uguali o quando il numeratore è un multiplo del denominatore.

Esempi di frazioni apparenti sono:

,

L’unità frazionaria: è la frazione che ha il numero 1 al numeratore.
Un esempio di unità frazionaria è:

Per ulteriori approfondimenti sui numeri interi vedi anche qua

La proprietà fondamentale delle frazioni

.
Se consideriamo ad esempio la frazione

e moltiplichiamo numeratore e denominatore per lo stesso numero otteniamo una funzione equivalente a quella di partenza, tale affermazione espressa sottoforma di espressione numerica corrisponde a:

La proprietà vale in modo analogo anche nel caso di una divisione:

Una frazione è equivalente ad un'altra, quando rappresenta la stessa quantità di un intero, ma scritta con altri numeri.
Ad esempio le due frazioni riportate in seguito sono equivalenti:

L’insieme di tutte le frazioni equivalenti ad un'altra frazione si chiama: Classe di equivalenza.

Ogni classe di equivalenza è individuata da qualsiasi frazione della classe stessa.
Per ragioni di semplicità ogni classe viene individuata dalla frazione i cui termini sono primi fra loro.

Operazioni tra frazioni: somma e differenza

Date due frazioni (

e

) la frazione risultante dalla somma delle due frazione di partenza ha come denominatore il minimo comune denominatore che corrisponde al minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni di partenza; il numeratore della frazione è dato dalla somma del risultato che si ottiene per ogni funzione calcolando il denominatore comune diviso per il denominatore della frazione che si sta considerando moltiplicato per il relativo numeratore.
In seguito riportiamo un esempio per chiarire meglio il procedimento:

Nel caso di sottrazioni tra frazioni si utilizza lo stesso procedimento solo che al posto di avere una somma al numeratore si ha una differenza; in seguito è riportato un esempio di differenza tra frazioni:

Per ulteriori approfondimenti sul minimo comune multiplo e sul massimo comun divisore vedi anche qua

Operazioni tra frazioni: moltiplicazione

Date due frazioni (

e

) la frazione risultante dal prodotto delle due frazioni di partenza ha come numeratore il prodotto dei numeratori delle funzioni di partenza e ha come denominatore il prodotto dei due denominatori:

Abbiamo visto che una proprietà delle frazioni è quella di poter moltiplicare e dividere numeratore e denominatore per la stessa quantità; da questa proprietà deriva la regola della semplificazione a croce.
La regola della semplificazione a croce prevede che nel caso di prodotto tra le frazioni è possibile semplificare il numeratore di una frazione con il denominatore dell’altra e viceversa, in tal modo è possibile semplificare i calcoli.
In seguito è riportato un esempio:

Perciò quando si hanno dei prodotti di frazioni è possibile semplificare numeratore e denominatore sia all’interno della stessa frazione sia tra frazioni diverse.

Operazioni tra frazioni: divisione

Il caso della divisione tra frazioni è molto simile al prodotto in quanto esiste una regola che permette di passare dalla divisione al prodotto tra le frazioni; tale regola prevede che la divisione tra due frazioni può essere convertita in prodotto se si inverte (si fa il reciproco, in altre parole il numeratore diventa denominatore) la frazione dopo il segno della divisione.
Perciò: