Equazioni lineari: definizione, classificazione ed esempi

In questo appunto di matematica si parla delle equazioni lineari, partendo dalla loro definizione, passando per la classificazione, fino ad arrivare a definire dei teoremi e regole molto importanti per le equazioni.

Che cosa sono le equazioni?

L’equazione è un’uguaglianza tra due polinomi o meglio tra espressioni letterali, ad esempio:

Con

si indica l’incognita , cioè il valore da trovare:

Il valore trovato prende il nome di soluzione o radice dell’equazione.

Equazioni lineari: definizione e loro classificazione

La classificazione è la seguente:

• Un'equazione lineare si dice numerica quando, all'infuori dell'incognita, contiene soltanto numeri;
• Un'equazione lineare si dice letterale quando contiene anche lettere, che rappresentano numeri ben determinati;
• Un'equazione lineare si dice intera quando in entrambi i membri l'incognita
  [math] x [/math]
  non compare a denominatore;
• Un'equazione lineare si dice fratta quando in almeno uno dei suoi membri vi sono delle frazioni che contengono l'incognita a denominatore;
• Un'equazione che non ammette soluzioni, si dice impossibile , mentre un'equazione che ammette infinite soluzioni si dice indeterminata ;

Teoremi e regole fondamentali

Alcune regole per lavorare al meglio con le equazioni sono:

• Primo principio di equivalenza: data un’equazione, aggiungendo a entrambi i membri uno stesso numero ad una stesa espressione contenente l’incognita si ottiene un’equazione equivalente.
  Ad esempio:
  
  [math] 4x = 3+ 2x [/math]
  [math]4x +x =3 +2x +x[/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
• Regola del trasporto : data un’equazione, trasportando un termine da un membro all’altro e cambiandolo di segno si ottiene un’ equazione equivalente .
  Ad esempio:
  
  [math]4x +x = +3 + 2x [/math]
  [math] +x -3 = -4x+ 2x [/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
• Regola di cancellazione :data un’equazione, termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere cancellati, ottenendo un’ equazione equivalente .
  Ad esempio:
  
  [math]2x +x = +3 + 2x [/math]
  [math] +x = +3 [/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
• Secondo principio di equivalenza : data un’equazione, moltiplicando o dividendo ambo i membri per un numero diverso da zero si ottiene un’ equazione equivalente .
  Ad esempio:
  
  [math]2x = 4[/math]
  [math] \frac {2x}{2} = \frac {4}{2} [/math]
  [math] x = 2 [/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
• Regola della divisione per un fattore comune diverso da zero : data un’equazione in cui tutti i termini hanno un fattore comune diverso da zero, dividendo per tale numero si ottiene un’ equazione equivalente .
  Ad esempio:
  
  [math] 8x +6 = 2x +4[/math]
  [math] \frac {8x}{2} + \frac {6}{2} = \frac {2x}{2} + \frac {4}{2}[/math]
  [math] 4x +3 = x +2[/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
  
• Regola del cambiamento di segno : data un’equazione, cambiando segno a tutti i termini di entrambi i membri si ottiene un’ equazione equivalente .
  Ad esempio:
  
  [math] 8x +6 = 2x +4[/math]
  [math] - 8x - 6 = -2x -4[/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
  
• Teorema fondamentale dell’algebra : ogni equazione algebrica di grado
  [math] n[/math]
  ammette
  [math]n[/math]
  soluzioni nell’insieme dei numeri complessi.
  Nel nostro caso, se la soluzione esiste, è unica.

Per ulteriori approfondimenti sui principi di equivalenza vedi anche qua

Equazioni di primo grado

Le equazioni lineari possono essere di gradi diversi.
In questo appunto ci concentreremo solo sul primo grado.
Si dice equazione di primo grado un’uguaglianza tra due espressioni algebriche in cui il grado massimo è

Dove:

• [math] a [/math]
  è il coefficiente del termine di primo grado;
• [math] b [/math]
  è il termine noto.

La soluzione dipende quindi dai valori delle costanti

e

:

• Se
  [math] a =0 [/math]
  e
  [math] b \neq 0 [/math]
  l’equazione non ha soluzione e si dice impossibile ;
• Se
  [math] a=b=0 [/math]
  l’equazione è soddisfatta per qualsiasi valore della variabile e si dice indeterminata ;
• Se
  [math] a \neq 0 [/math]
  l’equazione di dice determinata ed ha una sola soluzione:
  
  [math] x = - \frac {b}{a} [/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di primo grado vedi anche qua

Esempi applicativi

Facciamo alcuni esempi pratici:

Esempio 1:

Esempio 2:

Esempio 3:

Esempio 4:

Esempio 5: