In questo appunto vengono descritte le somme di frazioni. Quando si iniziano a studiare le frazioni, uno dei primi ostacoli da affrontare è farne la somma. Abbiamo davanti numeratori e denominatori e non è sempre semplice né immediato capire cosa fare. In questo appunto faremo chiarezza su questo argomento. Ricorda che per affrontare la somma tra due frazioni è importante padroneggiare bene le scomposizioni dei numeri in fattori primi, per cui prima di iniziare a sommare tra loro le frazioni può essere utile fare un piccolo ripasso su questo argomento.
Per affrontare l'argomento della somma tra frazioni, distinguiamo alcuni casi: la somma tra frazioni con lo stesso denominatore, la somma tra frazioni con denominatori diversi e la somma tra una frazione ed un numero.
Indice
Somma tra frazioni con lo stesso denominatore
In questo paragrafo affronteremo nel dettaglio il caso più semplice, l'unico per il quale non è necessario ricordare le regole di scomposizione, perché è come fare una somma tra numeri.
Vale una regola molto semplice: la somma tra due frazioni con lo stesso denominatore è uguale a una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma dei numeratori.
Facciamo la somma:
. Per quanto abbiamo detto, il risultato sarà una frazione con lo stesso denominatore, cioè 7.
Ricorda che, in alcuni casi, il risultato sarà una frazione non ridotta ai minimi termini. Se questo accade, per completare correttamente la somma, dovrai ridurre la frazione ai minimi termini.
Per esempio, se devi sommare
e
, il risultato sarà
, che però non è una frazione ridotta ai minimi termini. Sia il numeratore che il denominatore, infatti, sono divisibili per 8.
Per cui si ha:
.
Naturalmente, ciò che è valido per una somma di due frazioni resta valido anche per una somma tra tre o più frazioni. Per esempio:
Somma tra frazioni con denominatori diversi
In questo paragrafo affrontiamo il caso più comune, cioè quello in cui occorre sommare due frazioni aventi diversi denominatori. In questo caso, è necessario scomporre in fattori primi entrambi i denominatori, per calcolarne il minimo comune multiplo.
Quando dobbiamo affrontare una somma di frazioni con denominatori diversi, la prima cosa da fare è calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori.
Per trovare il minimo comune multiplo tra due o più numeri è necessario scomporre tutti i numeri in fattori primi. Il minimo comune multiplo sarà il prodotto di tutti i fattori, comuni e non comuni, presi una sola volta con l'esponente maggiore.
Facciamo un esempio. Supponiamo di dover sommare le frazioni
e
. Si tratta di due frazioni proprie: procediamo subito con la scomposizione dei denominatori. Sappiamo che:
e
.
Il minimo comune multiplo risulta essere:
Questo sarà il denominatore della nostra somma tra frazioni. Il numeratore, invece, sarà una somma. Per determinare il primo addendo di questa somma, dividiamo il divisore comune, cioè 24, per il denominatore della prima frazione, cioè 8, e moltiplichiamo il risultato per il numeratore di quella stessa frazione, cioè 7. Otteniamo 21. Per determinare il secondo addendo, facciamo la stessa cosa con la seconda frazione, ottenendo così 20. Scriveremo così:
Il risultato di questa somma è
, una frazione impropria, peraltro già ridotta ai minimi termini, anche perché 41 è numero primo.
Facciamo subito un altro esempio, coinvolgendo anche una frazione impropria. L'esempio è:
Scomponendo i denominatori, si ha:
e
. I due denominatori non hanno nessun fattore in comune: si dice che sono numeri primi tra loro. Il loro minimo comune multiplo sarà quindi pari al loro prodotto. Infatti:
Procediamo come nell'esempio precedente e otteniamo:
Come nel caso precedente, anche in questo caso il procedimento valido per sommare due frazioni vale anche per somme tra tre, quattro o più frazioni.
Per ulteriori approfondimenti sulla scomposizione di un numero in fattori primi vedi anche qua
Somma tra una frazione ed un numero
In questo ultimo paragrafo vediamo cosa accade quando dobbiamo sommare un numero con una frazione.
Una volta che abbiamo visto come sommare due frazioni, sia quando hanno lo stesso denominatore sia quando hanno denominatori diversi, come dobbiamo comportarci quando ci troviamo a dover sommare una frazione ed un numero?
Anche questa eventualità può essere trattata in maniera semplice: ti basterà ricordare che i numeri interi non sono altro che particolari frazioni aventi 1 come denominatore. Il denominatore della somma tra una frazione e un numero intero sarà quindi sempre uguale al denominatore dell'unica frazione presente, mentre il numeratore sarà pari al prodotto tra il numero intero ed il denominatore, aumentato del numeratore della frazione.
Come spesso accade in matematica, un esempio sarà molto più chiaro ed esplicativo della definizione.
Supponiamo di voler sommare il numero
e la frazione
. Per quello che abbiamo detto, il denominatore della somma sarà pari all'unico denominatore presente, cioè 15.
Otterremo che:
Facciamo un altro esempio: quanto fa
?
Ora che hai visto tutti i casi, prova ad allenarti tu, svolgendo le seguenti somme. Ricorda sempre di ridurre ai minimi termini i risultati, se è necessario.
- [math] \frac{2}{3} + \frac{19}{3}[/math]
- [math] \frac{4}{15} + \frac{3}{5} [/math]
- [math] \frac{18}{11} + \frac{2}{5} [/math]
- [math] \frac{2}{3} + 3 [/math]
- [math] \frac{4}{7} + \frac{2}{3} [/math]
Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni con le frazioni vedi anche qua
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