In questo appunto di matematica si tratta un particolare tipo di equazioni di secondo grado, le spurie; se ne affrontano le caratteristiche e le soluzioni, con alcuni esempi applicativi.
Indice
Le equazioni di secondo grado
Diremo che una equazione nella sola incognita x è di secondo grado se applicando i principi di equivalenza delle equazioni, è riconducibile ad un polinomio di secondo grado nella variabile x, uguagliato a zero.
Essa è esprimibile nella forma canonica come segue:
ax^2 + bx + c = 0
[/math]
dove
a, b, c ∈ R, ossia a, b e c sono numeri reali con a ≠ 0.
a è il primo coefficiente
b è il secondo coefficiente
c è il terzo coefficiente o termine noto
E’ noto che la formula risolutiva di tale equazione canonica è data dalla seguente espressione:
x_{1,2} = \frac{-b ± \sqrt[2]{Δ}}{2a}
[/math]
dove
Δ = b^2 – 4ac
[/math]
viene chiamato discriminante ed il numero di soluzione dipende da tale quantità:
- se Δ > 0 si hanno due soluzioni reali distinte [math];
x_1 ≠ x_2
[/math] - se Δ = 0 si hanno due soluzioni reali coincidenti [math];
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}
[/math] - se Δ
Si ricorda che una equazione di secondo grado individua il punti di intersezione con l’asse delle ascisse x, di una parabola avente per equazione il polinomio, nella variabile x, che identifica l’equazione di secondo grado:
y = ax^2 + bx + c
[/math]
rappresenta la parabola (ad asse verticale) associata all’equazione di secondo grado.
Relazioni fra i coefficienti di una equazione di secondo grado e le sue soluzioni
Sia data l’equazione di secondo grado:
ax^2 + bx + c = 0
[/math]
Le sue soluzioni, nel caso in cui il discriminante sia strettamente maggiore di zero, sono:
x_1 = \frac{-b - \sqrt[2]{b^2 – 4ac}}{2a}
[/math]
x_2 = \frac{-b + \sqrt[2]{b^2 – 4ac}}{2a}
[/math]
Si osserva che la loro somma S è data da:
S = x_1 + x_2 = \frac{-b - \sqrt[2]{b^2 – 4ac}}{2a} + \frac{-b + \sqrt[2]{b^2 – 4ac}}{2a}
[/math]
ossia
S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}
[/math]
Analogamente si osserva che il prodotto P delle soluzioni (sempre nel caso in cui queste esistano) è dato da:
P = (x_1)(x_2) = (\frac{-b - \sqrt[2]{b^2 – 4ac}}{2a})(\frac{-b + \sqrt[2]{b^2 – 4ac}}{2a}) =
[/math]
= \frac{b^2 – (b^2 – 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}
[/math]
quindi
P = (x_1)(x_2) = \frac{c}{a}.
[/math]
Queste due relazioni ci consentono di risolvere alcuni problemi legati alle equazioni di secondo grado:
- trovare una equazione di secondo grado che abbia per soluzioni due numeri assegnati, [math]e
x_1
[/math][math];
x_2
[/math] - trovare due numeri, [math]e
x_1
[/math][math], conoscendo la loro somma ed il loro prodotto;
x_2
[/math] - scomporre in fattori di primo grado un qualunque trinomio di secondo grado rispetto ad una variabile assegnata (nel caso in cui il discriminante risulti maggiore o uguali di zero);
- scrivere l’equazione di secondo grado in un’altra forma:
data[math]
ax^2 + bx + c = 0
[/math]si dividano entrambi i membri per a, otterremo
[math]
x^2 + (\frac{b}{a})x + \frac{c}{a} = 0
[/math]posto
[math]
- \frac{b}{a} = S
[/math]e
[math]
\frac{c}{a} = P
[/math]la precedente equazione di secondo grado può essere scritta come segue:
[math]
x^2 - Sx + P = 0.
[/math]
Equazioni di secondo grado incomplete spurie
Se uno dei tre coefficienti che definiscono una equazione di secondo grado completa è uguale a zero, avremo una equazione di secondo grado incompleta.
Le equazioni di secondo grado spurie, sono quelle equazioni di secondo grado incomplete in cui è nullo il termine noto, c.
Questo tipo di equazioni si presentano nella seguente forma:
ax^2 + bx = 0.
[/math]
La loro risoluzione può essere condotta tramite due metodi:
- risoluzione tramite il metodo della formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, imponendo il coefficiente c uguale a zero;
- risoluzione tramite scomposizione in fattori del polinomio di secondo grado che rappresenta l’equazione ed uguagliando a zero i singoli fattori.
Nel primo caso, quello in cui si voglia adottare la formula risolutiva completa per le equazioni di secondo grado, basta imporre c= 0 e procedere come segue:
data
ax^2 + bx = 0
[/math]
il discriminante è dato da
Δ = b^2 – 4ac
[/math]
ossia
Δ = b^2 – 4a(0)
[/math]
ossia
Δ = b^2
[/math]
quindi nota
x_{1,2} = \frac{-b ± \sqrt[2]{Δ}}{2a}
[/math]
si ottiene
x_{1,2} = \frac{-b ± \sqrt[2]{b^2}}{2a}
[/math]
x_1 = \frac{-b - b}{2a}
[/math]
x_1 = \frac{-2b}{2a}
[/math]
x_1 = - \frac{b}{a}
[/math]
mentre
x_2 = \frac{-b + \sqrt[2]{b^2}}{2a}
[/math]
x_2 = \frac{-b + b}{2a}
[/math]
x_2 = 0.
[/math]
Nel secondo caso, ovviamente, giungiamo alle stesso soluzioni, a scomponendo il polinomio che rappresenta l’equazione di secondo grado di cui si vogliono trovare le soluzioni.
Data
ax^2 + bx = 0
[/math]
si esegue una scomposizione in fattori tramite un raccoglimento totale:
x (ax + b) = 0
[/math]
e si impongono entrambi i fattori uguali a zero per la legge di annullamento del prodotto:
x = 0
[/math]
ax + b = 0
da cui si ottiene
ax = -b
x = - \frac{b}{a}.
[/math]
Esattamente le stesse soluzioni trovate usando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
Da quanto trovato si possono fare due osservazioni importanti.
La prima osservazione è che in una equazione di secondo grado spuria, una soluzione è sempre zero.
La seconda osservazione è che, questo tipo di equazioni di secondo grado incomplete ammette sempre soluzioni reali, poiché il discriminante Δ è sempre maggiore di zero.
Esempi di risoluzione di equazioni di secondo grado spurie
Si vogliono risolvere le seguenti equazioni di secondo grado:
Esercizio 1:
4x^2 - 6x = 0
[/math]
Si raccoglie a fattore comune la x
x (4x−6) = 0
[/math]
da cui si ottiene che
x_1=0
[/math]
inoltre risolvendo
4x – 6 = 0
[/math]
4x = 6
[/math]
x_2 = \frac{6}{4}
[/math]
x_2 = \frac{3}{2}
[/math]
Esercizio 2:
3x^2 - 15x = 0
[/math]
Raccogliendo a fattore comune la x, si ottiene che:
x (3x − 15) = 0
[/math]
x_1 = 0
[/math]
3x − 15 = 0
[/math]
3x = 15
[/math]
x_2 = \frac{15}{3}
[/math]
x_2 = 5
[/math]
Esercizio 3:
-8x^2 + 6x = 0
[/math]
Effettuiamo il raccoglimento totale della x:
x (−8x + 6) = 0
[/math]
La prima soluzione è
x_1 = 0
[/math]
, la seconda si ottiene risolvendo
−8x + 6 = 0
[/math]
-8x = -6
[/math]
8x = 6x
[/math]
x_2 = \frac{6}{8}
[/math]
x_2 = \frac{3}{4}.
[/math]
Esercizio 4:
x^2 + 3x = 0
[/math]
Raccogliendo a fattore comune la x otteniamo che:
x (x+3) = 0
[/math]
quindi
x_1 = 0
[/math]
e
x + 3 = 0
[/math]
quindi
x_2 = −3
[/math]
Esercizio 5:
3x^2 + 4x = 0
[/math]
Effettuiamo il raccoglimento totale della x:
x(3x + 4)=0
[/math]
da cui per la legge di annullamento del prodotto
x_1 = 0
[/math]
e
(3x + 4) = 0
[/math]
3x = -4
[/math]
x_2 = -\frac{4}{3}.
[/math]
Esercizio 6:
13x^2 + 26x = 0
[/math]
Si scompone raccogliendo una x
13x (x + 2) = 0
[/math]
13x = 0
[/math]
x_1 = 0
[/math]
x + 2 = 0
[/math]
x_2 = -2.
[/math]
Esercizio 7:
4x^2 - 8x = 0
[/math]
Possiamo raccogliere 4x:
4x (x − 2) = 0
[/math]
da cui ricaviamo facilmente le soluzioni
4x = 0
[/math]
x_1 = 0
[/math]
e
x – 2 = 0
[/math]
x_2 = 2.
[/math]
Esercizio 8:
2x^2 + 4x = 0
[/math]
Raccogliamo 2x, ottenendo
2x (x + 2) = 0
[/math]
da cui
2x = 0
[/math]
x_1 = 0
[/math]
x + 2 = 0
[/math]
x_2 = -2.
[/math]
Esercizio 9:
-7x^2 + 21x = 0
[/math]
Raccogliamo 7x e si ottiene:
7x (−x + 3) = 0
[/math]
da cui
7x = 0
[/math]
x_1 = 0
[/math]
-x + 3 = 0
[/math]
-x = -3
[/math]
x_2 = 3
[/math]
Esercizio 10:
8x^2 - 3x = 0
[/math]
Raccogliamo la x:
x (8x − 3) = 0
[/math]
da cui si ottiene che
x_1 = 0
[/math]
8x – 3 = 0
[/math]
8x = 3,
[/math]
si ottiene che
x_2 = -\frac{3}{8}.
[/math]
per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado vedi anche qua
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