Parabola

La parabola è quel luogo geometrico dei punti che sono equidistanti da un punto fissato detto fuoco e da una retta detta direttrice; quindi detta d la retta direttrice ed F il fuoco, la parabola è formata da tutti i punti P tali che:

La parabola, assieme alla circonferenze, l'ellisse e l'iperbole, fa parte delle curve che vengono chiamate "coniche non degeneri", che devono questo nome al fatto che sono un'intersezione tra un piano e un cono a due falde.

Detto

l'angolo tra l'asse del cono e le sue rette generatrici (guarda la figura), se prendiamo un piano che forma un angolo pari ad con l'asse, allora l'intersezione darà una parabola.

Se consideriamo una direttrice orizzontale, quindi di equazione del tipo y=numero , allora la parabola avrà asse di simmetria perpendicolare all'asse x e parallelo all'asse y, viceversa, l'asse sarà parallelo all'asse x nel caso di direttrice verticale, quindi del tipo x=numero. Considereremo solo il primo caso, il secondo sarà analogo, scambiando il ruolo della x e la y.

L'equazione generica di una parabola è del tipo

.

Dipendentemente dal segno del coefficiente a, la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso:

Il coefficiente c, invece, ci dice dove la parabola taglia l'asse delle y.

Consideriamo la generica parabola in figura:

il fuoco F, la direttrice e il vertice V (che nel caso di a>0 rappresenta il punto della parabola più in basso, viceversa, nel caso a<0 è il punto più in alto) sono le caratteristiche della parabola. Queste possono essere determinate tramite le seguenti formule:

dove

è il discriminante dell'equazione di secondo grado associata alla parabola; in particolare:

- se
[math]\Delta<0 [/math]
allora la parabola non interseca l'asse x;

- se
[math]\Delta>0 [/math]
allora la parabola interseca l'asse x in due punti;
- se
[math]\Delta=0 [/math]
allora il vertice della parabola è l'unico punto che la parabola ha in comune con l'asse x.