La parabola

La parabola è quel luogo geometrico dei punti che sono equidistanti da un punto fissato detto fuoco e da una retta detta direttrice; quindi detta d la retta direttrice ed F il fuoco, la parabola è formata da tutti i punti P tali che:


[math]PF=distanza(d,P).\\[/math]

La parabola, assieme alla circonferenze, l'ellisse e l'iperbole, fa parte delle curve che vengono chiamate "coniche non degeneri", che devono questo nome al fatto che sono un'intersezione tra un piano e un cono a due falde.


Detto

[math]\alpha[/math]
l'angolo tra l'asse del cono e le sue rette generatrici (guarda la figura), se prendiamo un piano che forma un angolo pari ad
[math]\alpha[/math]
con l'asse, allora l'intersezione darà una parabola.


Se consideriamo una direttrice orizzontale, quindi di equazione del tipo y=numero , allora la parabola avrà asse di simmetria perpendicolare all'asse x e parallelo all'asse y, viceversa, l'asse sarà parallelo all'asse x nel caso di direttrice verticale, quindi del tipo x=numero. Considereremo solo il primo caso, il secondo sarà analogo, scambiando il ruolo della x e la y.

L'equazione generica di una parabola è del tipo

[math]y=ax^2+bx+c[/math]
.

Dipendentemente dal segno del coefficiente a, la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso:

Il coefficiente c, invece, ci dice dove la parabola taglia l'asse delle y.

Consideriamo la generica parabola in figura:


il fuoco F, la direttrice e il vertice V (che nel caso di a>0 rappresenta il punto della parabola più in basso, viceversa, nel caso a<0 è il punto più in alto) sono le caratteristiche della parabola. Queste possono essere determinate tramite le seguenti formule:

[math] V= \left(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}\right)\\
F=\left(\frac{-b}{2a};\frac{1-\Delta}{4a}\right)\\
d: \ y= -\frac{1+\Delta}{4a}
[/math]

dove

[math]\Delta=b^2-4ac[/math]
è il discriminante dell'equazione di secondo grado associata alla parabola; in particolare:
    - se
    [math]\Delta<0 [/math]
    allora la parabola non interseca l'asse x;
    - se
    [math]\Delta>0 [/math]
    allora la parabola interseca l'asse x in due punti;
    - se
    [math]\Delta=0 [/math]
    allora il vertice della parabola è l'unico punto che la parabola ha in comune con l'asse x.
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