Area del triangolo: formule dirette e inverse

In questo appunto di geometria per le scuole medie viene presentato il calcolo dell'area del triangolo tramite la sua formula diretta e inversa. All'interno dell'appunto è effettuata una presentazione di tali formule e una spiegazione che permette di comprendere appieno come questa sia dimostrabile attraverso l'applicazione di semplici principi geometrici. Nel testo troviamo anche esempi di applicazione pratica che hanno l'obiettivo di semplificare la comprensione di alcuni concetti di teoria.

Il triangolo e i suoi elementi

Per comprendere il calcolo dell'area del triangolo è necessario comprendere appieno cosa sia il triangolo e di quali elementi esso sia composto.

. Gli elementi fondamentali di questa figura geometrica sono tre:

• Lati
• Vertici
• Angoli

A questi elementi fondamentali, che costituiscono la struttura primaria del triangolo, se ne aggiungono altri chiamati elementi notevoli e punti notevoli. Di seguito sono indicati gli elementi notevoli di un triangolo:

• Altezza: segmento con origine in un vertice e dà vita ad un angolo di 90° (angolo retto) con il lato opposto
• Mediana: segmento che collega un vertice con il punto medio del lato opposto
• Bisettrice: segmento che congiunge il vertice dell'angolo al lato opposto ad esso, dividendo l'angolo in due parti uguali
• Assi dei tre lati: rette perpendicolari ai tre lati passanti per i loro punti medi

Passiamo ora all'individuazione dei punti notevoli di un triangolo, possiamo definire i seguenti:

• Ortocentro: punto d'itersezione delle tre altezze del triangolo
• Baricentro: punto dove si incontrano le tre mediane del triangolo
• Incentro: punto d'incontro delle bisettrici degli angoli interni al triangolo
• Circocentro: punto di intersezione degli assi dei lati del triangolo

Dopo aver compreso appieno quali sono gli elementi di un triangolo è utile ricordare, prima di procedere con la spiegazione del calcolo dell'area del triangolo, che esistono diverse tipologie di triangoli, classificabili in base alle proprietà dei loro lati e dei loro angoli. Andando nello specifico, la classificazione dei triangoli può seguire i seguenti criteri: la misura dei lati e la misura delle ampiezze degli angoli che appartengono alla figura.

L'identificazione della tipologia di triangolo è di fondamentale importanza per comprendere quali siano le proprietà di tale figura geometrica al fine di mettere in atto una semplificazione del calcolo dei suoi elementi incogniti.

L'area del triangolo

La spiegazione di cosa sia un triangolo e di quali sono i suoi elementi ci permette ora di poter andare a definire come sia possibile, utilizzando gli elementi geometrici propri di un triangolo, calcolare l'area di questa figura geometrica.

Per andare a definire la formula dell'area di un triangolo, partiamo con un caso pratico prendendo in esame il triangolo ABC della figura.
Dai vertici B e C tracciamo le parallele rispettivamente ai lati AC e AB: otteniamo quindi il parallelogrammo ABCD. Per una delle quattro proprietà dei parallelogrammi il triangolo ABC è uguale al triangolo CBD.

Pertanto, ricordando ancora una volta il concetto di equivalenza tra le figure piane, il triangolo è equivalente alla metà del parallelogrammo avente la stessa base e la stessa altezza. Di conseguenza possiamo dire: l'area del triangolo sì ricava moltiplicando la misura della base per quella dell'altezza e dividendo il risultato ottenuto per due.

oppure

formula diretta

Dalla formula diretta ricaviamo le seguenti formule inverse:

formule inverse

In particolare se prendiamo in esame il triangolo rettangolo, consideriamo come base e altezza i due cateti.

Per ulteriori approfondimenti ed esempi pratici sul calcolo dell'area del triangolo vedi anche qua

Calcolare gli elementi del triangolo partendo dall'area

Dalle due formule dell'area di un triangolo rettangolo, si può ricavare la formula per calcolare l'altezza relativa all'ipotenusa, noti i tre lati del triangolo rettangolo; infatti:

oppure

Poiché le due aree A sono uguali, possiamo senz'altro uguagliare le formule poichè vale la proprietà transitiva dell'uguaglianza, cioè:

In questo caso se andiamo ad eliminre i denominatori si ottiene:

da cui:

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo dell'area del triangolo dati i lati vedi anche qua