Area e perimetro del rettangolo

Appunto di geometria piana sul rettangolo, strutturato per facilitare la comprensione dell’argomento da parte degli alunni della scuola secondaria di primo grado. La trattazione si apre con una introduzione generale sui quadrilateri e quindi la classificazione del poligono rettangolo poi si passa alle sue caratteristiche principali e alle proprietà, mettendo in evidenza le simmetrie della figura. Si prosegue passando alle formule per calcolare perimetro ed area.

Come sempre dei problemi di semplice e rapida applicazione completano l’appunto per fissare le idee.

Rettangolo definizione e caratteristiche

Osservando gli oggetti che ti circondano all’interno della tua aula, puoi scoprire che molti di questi hanno una forma rettangolare: la copertina dei libri, le porte e le finestre dell’aula, la superficie del banco.
Cosa noti rispetto al quadrato? I lati del rettangolo non sono tutti uguali o per meglio dire non sono tutti congruenti come quelli quadrato ma si somigliano a coppie.
Cosa puoi dire degli angoli? Anche per il rettangolo gli angoli sono tutti retti, sono angoli di 90 gradi.
Diamo ora una definizione:
Il rettangolo è un quadrilatero con tutti gli angoli congruenti, e questi sono tutti angoli retti cioè di 90°.
Questa caratteristica la ritroviamo proprio nel nome del poligono, rettangolo sinonimo di angolo retto.

Proprietà del rettangolo

Facciamo un elenco di tutte le proprietà di questo poligono

• In un rettangolo due lati consecutivi sono perpendicolari.
• In un rettangolo i lati opposti sono paralleli.
• In un rettangolo i lati opposti sono congruenti.
• Il segmento che unisce i vertici opposti è la diagonale, in un rettangolo se ne possono tracciare due e sono congruenti.
• Il rettangolo è anche un parallelogramma poiché i lati opposti sono paralleli e congruenti.
• In un rettangolo le diagonali si tagliano reciprocamente a metà questo significa che il punto in cui si incontrano è il punto medio di entrambe.

Assi di simmetria del rettangolo

Ricordiamo la definizione di simmetria assiale e centrale.
Una simmetria assiale è una trasformazione che ad ogni punto di una figura fa corrispondere rispetto alla retta r, detta asse di simmetria, il suo simmetrico. I punti simmetrici rispetto all’asse si trovano alla stessa distanza da esso.
In una simmetria centrale invece della retta c’è un punto detto centro di simmetria, ad esempio il centro del cerchio è centro di simmetria per gli estremi di un qualsiasi diametro. Il rettangolo ha due assi di simmetria, e un centro di simmetria. Gli assi sono le rette che congiungono i punti medi dei lati opposti. Il centro di simmetria è il punto di intersezione delle due diagonali.

Come possiamo individuarli?

Prendiamo un foglio A4 che ha la forma di un rettangolo e pieghiamolo a metà, secondo la dimensione più lunga, le due parti del foglio sono esattamente identiche sono sovrapponibili abbiamo trovato un asse di simmetria. Ripetiamo l’operazione piegando a metà lungo l’altra dimensione del foglio, anche in questo caso le due metà che abbiamo ottenuto sono esattamente sovrapponibili quindi abbiamo trovato il secondo asse di simmetria.
Osserviamo che le due diagonali sono uguali, e dividono il rettangolo in due triangoli rettangoli congruenti, perché non sono assi di simmetria?
Proviamo a piegare lungo la diagonale. Cosa osserviamo ?
In questo caso non otteniamo figure sovrapponibili per sola traslazione, cioè trascinando un triangolo rettangolo sull’altro; quindi, la direzione della diagonale non coincide con alcun asse di simmetria. Per poter sovrapporre i triangoli serve una rotazione fuori dal piano, infatti basta ribaltare un triangolo per poterlo sovrapporre all’altro. Come detto prima il centro di simmetria è il punto di intersezione delle due diagonali, infatti, gli estremi di una diagonale sono equidistanti dal centro.

Formula del perimetro

Di norma il lato su cui poggia la figura, quello orizzontale, è chiamato base del rettangolo e quello ad esso perpendicolare, messo in verticale, è detto altezza h. Nella figura DC è una base così come AB perché questi due lati sono congruenti. AD è un’altezza come BC.

Il perimetro del rettangolo, come di ogni poligono rappresenta il suo contorno, cioè la misura della somma dei 4 lati che lo compongono, il perimetro delimita il poligono dividendo il piano in una parte interna e una parte esterna. Indichiamo con

il perimetro:

avendo identificato le 2 basi e le 2 altezze, possiamo scrivere la formula come segue:

il perimetro del rettangolo si calcola moltiplicando per due la somma della base e dell’altezza. Se conosciamo la misura del perimetro e della base, possiamo determinare l’altezza sottraendo al semiperimetro la misura della base:

Se conosciamo la misura del perimetro e dell’altezza, possiamo determinare la base sottraendo al semiperimetro la misura dell’altezza:

Formula dell’area

Prendiamo in considerazione un rettangolo generico e ricopriamo la sua superficie con tanti quadratini di lato 1cm e quindi di area unitaria pari a

, come in figura.

Contiamo quanti sono i quadratini di una riga e quanti sono quelli di una colonna, la somma delle aree dei quadratini utilizzati è proprio la misura dell’area del rettangolo. Nel rettangolo in figura possiamo contare 12 quadratini, questo significa che l’area del rettangolo è di

. Poiché ogni quadratino ha il lato di un cm, il numero di quadratini per riga è anche la misura della base del rettangolo mentre il numero di quadratini per colonna è la misura dell’altezza. Il rettangolo considerato ha perciò le seguenti dimensioni:

Il prodotto di riga per colonna ci fornisce il numero totale di quadratini, e perciò anche l’area del rettangolo, abbiamo trovato la formula:

L’area di un rettangolo è data dal prodotto delle sue dimensioni.

Problemi svolti sul rettangolo

Calcola l'area di un rettangolo sapendo che la base e lunga 48 cm e che questa è il doppio dell'altezza.
Svolgimento

Sappiamo che la base è il doppio dell’altezza, dividendo per due la misura della base AB, troviamo la misura di BC:

Ora applichiamo la formula diretta per il calcolo dell'area del rettangolo:

Risposta
L'area del rettangolo è

Problema 2
Calcola l'area di un rettangolo sapendo che le misure della base e dell'altezza sono rispettivamente 12 cm e 20 cm.
Svolgimento

Calcoliamo l'area del rettangolo utilizzando la formula diretta:

Problema 3
Calcola il perimetro di un rettangolo sapendo che la base è 4/5 della misura dell'altezza e che l'area è di 8000 cm².
Svolgimento

Sappiamo la relazione tra le due dimensioni del rettangolo. Dire che la base è 4/5 dell'altezza significa che, se dividiamo in 5 parti la lunghezza della altezza, la base ne vale 4. Il nostro rettangolo è formato allora da 4 colonne e 5 righe per un totale di:

quadratini

Dividiamo ora l’area totale per il numero di quadratini in modo da scoprire quanto vale l’area unitaria del singolo quadratino:

Estraendo la radice quadrata di 400, calcoliamo la misura de lato del quadratino:

Ora possiamo calcolare la misura delle due dimensioni:

Determiniamo il perimetro:

per ulteriori approfondimenti sul rettangolo vedi qua