Cilindro solido di rotazione, formule di area e volume

In questo appunto si prende in considerazione la forma del cilindro che è una delle più comuni negli oggetti che usiamo ogni giorno. Scopriamo perché si definisce solido di rotazione e da dove hanno origine le formule che usiamo per risolvere i problemi. Attraverso lo sviluppo piano possiamo vedere i poligoni regolari a cui è equivalente la sua superficie totale e così è più semplice memorizzare le formule. Ripassiamo anche come si calcola il volume ed elenchiamo tutte le formule inverse che possono esserci utili.

Solidi generalità

Un solido in geometria è costituito dai punti che si trovano nella parte di spazio individuata da una superficie chiusa.

La proprietà che caratterizza le figure solide e l’estensione spaziale. Pensiamo ad una classica scatola di biscotti e una lattina, la prima ha la superficie composta solo da poligoni, la seconda ha una superficie curva e due cerchi. Questo esempio ci fa capire che tra le figure solide possiamo fare una prima distinzione a seconda delle superfici che le delimitano. Quando le superfici sono solo poligoni i solidi si chiamano poliedri, se almeno una superficie è curva si parla di solidi rotondi.
Nel nostro esempio la scatola di biscotti è un poliedro regolare, un parallelepipedo; la lattina è un cilindro, un solido rotondo. I poligoni che formano la superficie di un poliedro sono detti facce che sono unite due a due da un lato. Due facce che hanno un lato in comune non si trovano mai nello stesso piano e i lati dei poligoni per la figura solida vengono chiamati spigoli e questi convergono in punti detti vertici.

Poliedri regolari

Un poliedro è la parte di spazio individuata da una superficie chiusa, unione di un numero finito di poligoni nello spazio, situati in piani diversi e disposti in modo che ciascun lato sia comune solo a due poligoni. Come per i poligoni anche per i poliedri si usa un diverso nome per ciascuno di essi, in funzione del numero delle facce. Abbiamo il tetraedro che ha quattro facce, il pentaedro con 5, l’esaedro con sei e così via.
Un poliedro si dice regolare se le sue facce sono poligoni regolari tutti congruenti tra loro e in ogni vertice si unisce sempre lo stesso numero di facce.
Le facce dei poliedri regolari sono dunque figure piane regolari come: triangolo equilatero, quadrato e pentagono regolare.
Il tetraedro regolare ha per facce 4 triangoli equilateri. Un ottaedro regolare, ha 8 facce a forma di triangolo equilatero. Il cubo ha sei facce a forma di quadrato. Un poliedro con facce pentagonali è il dodecaedro regolare che ha 12 facce formate da pentagoni regolari.

Solidi di rotazione

La forma di questi solidi è generata dalla rotazione di una figura piana intorno ad un suo lato. I solidi di rotazione presentano tra i loro elementi dei cerchi o delle circonferenze. Un punto che si muove secondo una rotazione percorre una circonferenza, tanti punti che si muovono insieme lungo varie circonferenze danno origine ad una superficie curva.
Consideriamo un rettangolo e facciamogli compiere una rotazione completa intorno a uno dei suoi lati. I lati perpendicolari a quello che mantiene fissa la propria posizione descrivono due cerchi che stanno su piani paralleli, mentre il lato parallelo descrive una superficie curva. I cerchi e quest'ultima superficie racchiudono lo spazio attraversato dal rettangolo nella sua rotazione. Abbiamo generato un cilindro retto.

Cilindro definizione e caratteristiche

. La retta che contiene il lato del rettangolo intorno al quale viene fatto ruotare si dice asse del cilindro, ciascuno dei lati che descrivono un cerchio si dice raggio del cilindro, il lato del rettangolo che per effetto della rotazione descrive la superficie laterale è detto generatrice. La distanza tra le due basi del cilindro è l'altezza del solido, e la sua misura è uguale alla lunghezza della generatrice e naturalmente alla lunghezza del lato attorno al quale il rettangolo viene ruotato.

Il cilindro Si definisce equilatero se l’altezza è uguale al diametro di base. La sezione di un cilindro di questo tipo, con un piano passante per l'asse è un quadrato. Nel cilindro retto l'altezza è perpendicolare ad entrambe le basi e, i centri dei due cerchi appartengono all'asse del cilindro che è parallelo all’altezza. Quando il segmento che congiunge i due centri non è perpendicolare ad entrambe le basi il cilindro viene detto obliquo e non è un cilindro di rotazione.

Per identificare un cilindro occorre dunque assegnare due misure: il raggio di base r, e l’altezza h.

Area della superficie laterale e totale

Costruiamo lo sviluppo piano della superficie di un cilindro, tagliando lungo le circonferenze delle basi e lungo una generatrice.

La figura che si ottiene è composta da un rettangolo e due cerchi. La superficie laterale è un rettangolo che ha per base un segmento lungo quanto la circonferenza di base e per altezza l'altezza del cilindro.

Per determinare l’area della superficie totale bisogna aggiungere alla superficie laterale l'area dei due cerchi. Ricordando come si determina l’area del cerchio abbiamo:

dove abbiamo indicato:

superficie di base

superficie laterale

superficie totale

raggio di base

altezza del cilindro

Riportiamo anche le formule inverse utili per la risoluzione dei problemi

Volume del cilindro

Il volume del cilindro si calcola come quello di un prisma: bisogna moltiplicare l’area di base per l’altezza; Poiché la base del cilindro è un cerchio, determinato dalla misura del raggio, abbiamo che: il volume del cilindro si determina moltiplicando il prodotto di

e le inverse del volume per determinare raggio ed altezza:

Cilindro equilatero

Quando l'altezza del cilindro è congruente al diametro della sua base il cilindro si dice equilatero. Nelle formule bisogna porre h=2r.
Per il volume abbiamo:

da cui l’inversa per determinare il raggio, estraendo la radice cubica:

Per approfondimenti sul cilindro puoi vedere anche qui