Piano inclinato: equilibrio e moto di una massa

In questo appunto di Fisica si tratta un particolare dispositivo vincolare, il piano inclinato, e la situazione di equilibrio di un punto materiale vincolato a muoversi su di esso, sia in assenza di attrito che in presenza di un piano scabro.

Il piano inclinato

Il piano inclinato è un particolare dispositivo usato in fisica che vincola punti materiali o corpi rigidi a muoversi su di esso in particolari condizioni.
Il moto che avviene su di esso, o l’equilibrio che viene realizzato, dipende non solo dalle sue caratteristiche geometriche, ma anche dalle forze che possono agire.

Quindi quando si affronta lo studio di un qualsiasi punto materiale o corpo rigido su di un piano inclinato, oltre alle dimensioni geometriche dello stesso (altezza e lunghezza o inclinazione rispetto all’orizzontale), è importante stabilire se si tratta di un piano liscio o scabro, ed in quest’ultimo caso si deve poter quantificare tale scabrezza tramite il coefficiente di attrito.
Il sistema di riferimento cartesiano ortogonale adottato nello studio di questo particolare dispositivo avrà l’asse delle ascisse (asse x) diretto parallelamente al piano inclinato e verso nella direzione del moto, mentre l’asse delle ordinate (asse y) sarà sempre diretto ortogonalmente al piano inclinato stesso, con verso uscente dal piano.

Punto materiale o corpo rigido su piano

Supponiamo di avere un punto materiale o un corpo rigido di massa M e supponiamo di abbandonarlo su di un piano inclinato alto H, lungo L e di base B (si immagino un triangolo rettangolo di ipotenusa L e cateti H e B).
Precisiamo che se H è la sua altezza rispetto al piano orizzontale e B è la sua base (misurata parallelamente al piano orizzontale), l’angolo, α, di inclinazione del piano stesso è dato da:
tgα = H/B
e più precisamente si ha che
cosα = B/L
senα = H/L
Analizziamo due situazioni particolari:

• senza attrito
• con attrito.

, la quale scomposta lungo le direzioni principali avrà due componenti:

• una componente parallela al piano inclinato,
  [math]
  P_x
  [/math]
• una componente perpendicolare al piano inclinato,
  [math]
  P_y
  [/math]

Quest’ultima componente viene equilibrata dalla reazione di appoggio del piano, R, la quale assicura l’equilibrio del punto materiale (o del corpo rigido) perpendicolarmente al piano inclinato, mentre la componente

, in assenza di altre forze, è quella che determina il moto lungo il piano inclinato.
In queste condizioni non si può avere equilibrio, poiché la componente del peso parallela alla direzione del piano inclinato non è equilibrata da nessuna forza. Per il Secondo Principio della Dinamica avremo un moto uniformemente accelerato:
Ma = Mg senα
con accelerazione
a = g senα
oppure

che dipende dall’inclinazione del piano e non dalla massa M oggetto di studio.
Nel caso in cui il piano inclinato sia scabro (ossia nel caso in cui siamo in presenza di attrito) si può avere la condizione di equilibrio, purché la componente parallela del peso, P_x, venga equilibrata dalla forza di attrito, F_a, che si oppone al moto.
Supponiamo che:

in questo caso la massa M sarà in equilibrio sul piano inclinato.
Sapendo che

Essendo

per la condizione di equilibrio lungo la perpendicolare al piano.

e che

uguagliando i moduli delle due forze si ottiene la relazione di equilibrio sul piano inclinato per la massa M:

ossia
μ = tgα (cono di attrito)
che fornisce il coefficiente di attrito (ossia la scabrezza minima che deve essere realizzata sul piano inclinato) affinché si abbia equilibrio.
Si ricorda che la situazione di equilibrio, per il Primo Principio della Dinamica, non implica necessariamente che la velocità sia nulla, bensì che la massa M permane nel suo stato di moto, ossia se v = 0, rimane tale, ma se la velocità è diversa da zero, e la risultante delle forze è nulla (in questo caso

), la massa M si muove di moto rettilineo uniforme.
Se

siamo in una condizione di vantaggio di sicurezza,
ossia
μ > tgα.
In questa condizione la massa M è sicuramente ferma, poiché la forza di attrito,

, agisce solo per impedire il moto.
Se

la massa M si muove lungo il piano inclinato.
La sua accelerazione la si può trovare applicando il Secondo Principio della Dinamica e considerando che sulla massa M agiscono due forze nella direzione del moto,

e

, aventi verso contrario (ovviamente

tenderà a frenare la discesa verso il basso della massa M).

a = g (senα - μ cosα)
Tale accelerazione, come si può vedere dalla sua espressione trovata, dipende dall’accelerazione di gravità, dall’inclinazione del piano e dalla sua scabrezza.

Piano inclinato e masse collegate da una fune ed una carrucola

Analizziamo adesso una particolare applicazione del piano inclinato, le cui dimensioni e caratteristiche sono state precedentemente definite.
Supponiamo di avere due masse,

ed

, collegate da una fune inestendibile e di massa trascurabile, la quale scorre nella gola di una carrucola ideale (priva di attriti e di massa trascurabile) posta all’estremità più alta del piano inclinato.
Supponiamo che la massa

sia appoggiata sul piano inclinato, mentre la massa

è appesa tramite la fune sulla parte esterna del piano inclinato (cateto verticale H).
La fune che collega le due masse eserciterà una forza, detta tensione, la quale permetterà di ottenere equilibrio fra la due masse, anche in assenza di attrito sul piano inclinato e farà in modo che l’eventuale moto delle due masse sia collegato.
Dall’equilibrio sulla massa

si ha che:

mentre dall’equilibrio sulla massa

si ha che

quindi

Essendo la tensione della fune uguale su tutte la corda per l’ipotesi fatta di inestendibilità avremo che:

che costituisce la relazione di equilibrio del sistema di forze studiato
ossia

che rappresenta la relazione di equilibrio che lega le due masse, che come si può vedere dipende dall’inclinazione del piano inclinato.
Se fossimo stati in presenza di attrito, la precedente relazione sarebbe cambiata nel seguente modo:
equilibrio su

equilibrio su

ed uguagliando le due tensioni

che fornisce la relazione di equilibrio fra le due masse che costituiscono il sistema.
Per ulteriori approfondimenti sull’argomento si suggerisce di consultare il seguente link:
piano inclinato