Forze conservative ed energia meccanica

In questo appunto di Fisica si tratta il Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica, definendo il concetto di lavoro, di forza conservativa, di energia potenziale ed energia cinetica.

Forze conservative

Il lavoro che una forza può compiere dipende dalla direzione di questa e dallo spostamento che provoca.
Data la forza

applicata su di un corpo, la quale fa compiere a questo corpo uno spostamento

, definiamo il lavoro L che tale forza compie, come il prodotto scalare:

dove
α è l’angolo che la forza

forma con lo spostamento

.

In linea generale il lavoro che una forza applicata ad un punto materiale compie dipende dalla traiettoria seguita dal punto materiale (ossia dalla linea su cui si muove).

Esistono però alcune forze il cui lavoro non dipende dalla particolare traiettoria seguita dal punto materiale cui sono applicate, ma soltanto dalla posizione iniziale e da quella finale (qualunque sia il percorso seguito). Tali forze rientrano nella categoria di forze posizionali (dipendono unicamente dalla posizione del punto di applicazione) e fra tali forze rientrano le forze conservative. Non sono forze posizionali tutte quelle forze che dipendono esplicitamente dal tempo o dalla velocità.
Una importante proprietà delle forze posizionali è che il lavoro compiuto dalle forze del campo lungo una qualunque linea L avente estremi A e B è tale che:

ossia il lavoro compiuto nello spostamento da A a B è opposto al lavoro relativo alla stessa linea L percorsa in senso contrario (da B ad A). La dimostrazione di questa proprietà risulta evidente se si considera il lavoro come prodotto scalare fra il vettore forza ed il vettore spostamento: dal punto iniziale A a quello finale B, forza e spostamento sono equiversi; nello spostamento dal punto B al punto A, la forza rimane uguale, mentre il vettore spostamento è opposto a quello da A a B, per cui il prodotto vettoriale ha segno opposto.

.

Per il nostro studio saranno di interesse le forze posizionali conservative, quindi tutte quelle forze che sicuramente godono della proprietà appena descritta.
Chiameremo forze conservative tutte quelle forze posizionali tali che il lavoro da esse compiuto da un punto iniziale A ad uno finale B su di una linea L che li unisce, non dipende dalla particolare linea percorsa, ma solo dal punto di partenza A e da quello di arrivo B (punto iniziale e punto finale dello spostamento), qualunque siano tali punti.
In base a tale definizione si possono dedurre delle proprietà molto importanti di tali forze:

• il lavoro di una forza conservativa lungo una qualunque linea chiusa è nullo;
• per ogni forza conservativa si può definire una funzione di stato, chiamata energia potenziale.

Per quanto riguarda la prima proprietà diremo che una forza è conservativa se e solo se (condizione necessaria e sufficiente) il lavoro che compie lungo una linea chiusa è nullo.
Si consideri, infatti, una linea chiusa e due suoi punti qualunque A e B. Il lavoro da A a B lungo il percorso 1 (primo ramo della curva chiusa) sarà sicuramente uguale al lavoro da A a B lungo il percorso 2 (secondo ramo della curva chiusa):

ossia

Per la proprietà delle forze posizionali sappiamo anche che

Quindi

ossia la somma del lavoro fatto dal campo di forze nello spostamento da A a B, lungo la linea 1, col lavoro fatto dal campo di forze nello spostamento da B ad A, lungo la linea 2, è nullo.

Energia potenziale

Diremo che un campo di forze è conservativo se e solo se si può definire una funzione della posizione,

, tale che sia legata al lavoro che il campo compie spostandosi dalla posizione A alla B nel modo seguente:

qualunque siano i punti A e B del percorso.
Chiameremo tale funzione energia potenziale e la sua unità di misura sarà il Joule (J).
Le forze conservative che riguardano l’ambito di studio della meccanica sono fondamentalmente tre:

• la forza peso
• la forza elastica
• la forza di attrazione gravitazionale.

Per ciascuna di queste tre forze si definisce si può definire l’energia potenziale.
Energia potenziale della forza peso:

dove
m è la massa del corpo studiato
g è l’accelerazione di gravità

h è la quota cui si trova la massa m rispetto ad un opportuno sistema di riferimento precedentemente fissato.
Energia potenziale forza elastica:

dove
k è la costante elastica della molla considerata (N/m)
x è la deformazione della molla
Energia potenziale gravitazionale

dove
G è la costante di attrazione gravitazionale

ed

sono le masse che si attraggono
r è la distanza fra le masse.
L’energia potenziale di una forza deve essere pensata come il lavoro che quella forza può potenzialmente compiere.
Ad esempio supponiamo di comprimere una molla di una certa quantità x. L’energia potenziale di tale molla in funzione della sua rigidezza, k, e di tale compressione x si esprime come

ossia tale quantità rappresenta il lavoro che tale molla può potenzialmente compiere una volta che si può allungare.

Energia cinetica

L’energia cinetica o energia di movimento è una grandezza fisica scalare legata al moto di un punto materiale o di un corpo rigido.
Tale grandezza oltre ad essere ovviamente legata alla velocità del corpo in questione è legata anche alla sua massa.
Definiamo l’energia cinetica di un punto materiale come segue:

dove
m è la massa del punto materiale
v velocità tangenziale del punto materiale
Definiamo l’energia cinetica del corpo rigido come segue:

dove
m è la massa del corpo rigido
v la velocità del suo centro di massa

è il momento d’inerzia baricentrico
ω è la sua velocità angolare.
In quanto energia l’unità di misura nel Sistema Internazionale è il Joule (J).

Energia meccanica di un sistema di forze e sua conservazione

Dato un corpo rigido o un punto materiale su cui agiscono un dato numero di forze (non necessariamente tutte conservative), definiamo energia meccanica, E, la grandezza che si ottiene sommando algebricamente l’energia cinetica, K, e l’energia potenziale di ogni forza conservativa, U:
E = K + U.
L’energia meccanica di un sistema di forze è una grandezza fisica scalare, essa quantifica l’energia posseduta da un corpo rigido o da un punto materiale in un preciso istante del suo moto.
Se facciamo l’ipotesi restrittiva che tutte le forze agenti sul sistema meccanico siano conservative vale il Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica. Tale principio afferma che:
in un sistema meccanico a vincoli ideali, in cui le forze siano tutte conservative, l’energia meccanica totale rimane costante.
Questo significa che, considerati due istanti qualunque,

e

, del moto di un punto materiale, che si muove sotto l’azione di forze conservative, la somma di energia cinetica ed energia potenziale all’istante

è uguale alla somma delle stesse energie all’istante

, anche se le condizioni di moto sono cambiate: ossia rimane costante la somma di K ed U, anche se queste due quantità variano continuamente durante il moto.
Questo fenomeno si spiega poiché durante il moto l’energia cinetica si trasforma in energia potenziale e viceversa.
Per chiarire meglio questo principio si può analizzare un semplice esempio.
Consideriamo un punto materiale che viene sparato verticalmente verso l’alto con un velocità iniziale

, supponiamo di poter trascurare tutti gli attriti e di considerare agente l’unica forza conservativa, il peso.
Qualitativamente osserviamo che il punto materiale di massa m si stacca dal punto di partenza con la velocità

, sale verticalmente decelerando, si arresta istantaneamente ed inverte il suo moto, tornando verso il basso ed accelerando verso il punto di partenza.
Il Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica ci consente di affermare che considerati due qualunque punti di tale moto, per essi l’energia meccanica è costante.
Fissato un sistema di riferimento ad asse verticale diretto verso l’alto, con l’origine nel punto di partenza
la quantità

che esprime l’energia meccanica del sistema, sarà solo energia cinetica nel punto di partenza (poiché qui H = 0 e la velocità è massima) e solo energia potenziale nel punto del moto che ha quota massima (punto in cui la velocità è istantaneamente nulla ed H ha valore massimo).
Fra questi due punti si ha graduale trasformazione di energia cinetica (massima nel punto di partenza) in energia potenziale (massima nel punto di quota più alto). Nel momento in cui il moto si inverte e la massa da ferma accelera verso il basso, si inverte il procedimento di trasformazione e l’energia potenziale si trasforma gradualmente in energia cinetica: tale trasformazione è tale da mantenere sempre uguale la somma di queste due quantità.
L’energia meccanica è una grandezza molto utile per un sistema meccanico anche nel caso in cui tutte le forze agenti non siano conservative. In questo caso la variazione di energia meccanica fra due stati qualunque del moto in esame fornisce il lavoro totale delle forze non conservative in tale tratto.

Per ulteriori approfondimenti sulla conservazione dell'energia meccanica vedi anche qua