Momento di inerzia: definizione e calcolo

Nel seguente appunto studieremo la definizione di momento di inerzia a partire dalla sua definizione. Si tratta di una grandezza che esprime la “resistenza” che impone un corpo quando viene fatto ruotare intorno ad un certo asse. Per questo motivo, il momento di inerzia non è una grandezza fissa bensì dipende dall’asse che stiamo considerando.
Vedremo inoltre degli esempi che mostrano proprio questa dipendenza del momento di inerzia dall’asse che prendiamo in considerazione. Saranno necessarie delle piccole nozioni sul calcolo integrale.

Momento di inerzia

Diremo innanzitutto che dato un corpo puntiforme

, dotato di massa

avente distanza

da un certo polo

definiamo momento di inerzia del corpo rispetto al polo

la quantità

. Questa cosa può essere estesa a tutti i corpi rigidi (assumendo siano essi omogenei), siano essi bidimensionali o tridimensionali, dividendo il corpo in tantissimi piccoli pezzi dotati di massa molto piccola.
Per fare ciò sarà quindi necessario usare delle tecniche relative al calcolo integrale. Vediamo qualche esempio. Si premette che in realtà è possibile trovare, già tabulati, i momenti di inerzia dei solidi (o delle figure piane) più note, ma nei paragrafi successivi vedremo come ricavarli senza fare utilizzo di tabelle.

Calcolo del momento di inerzia: esempio 1

Consideriamo una lamina quadrata di lato

e di massa

. Vogliamo calcolare il momento di inerzia della lamina quadrata rispetto all’asse passante per il centro del quadrato e passante per i punti medi di due lati opposti.
Per fare ciò, consideriamo una delle due metà in cui viene suddiviso il quadrato dall’asse precedentemente menzionata. Ognuna di queste metà può essere suddivisa in tante strisce parallele all’asse, tutte con una certa proprietà: ogni striscia che dista

dall’asse in questione è tale che ogni punto appartenente a tale striscia ha anch’esso distanza

. Potremo dire che “ogni punto ha massa

” e in ogni striscia di distanza

il momento di inerzia vale

, dove il

è stato necessario da aggiungere in quanto ci sono

punti su una striscia. Dunque il momento di inerzia di metà lamina vale

.
Moltiplichiamo per 2 col fine di ottenere il momento di inerzia dell’intera lamina. Avremo quindi

.
Risolviamo ora l’integrale, possiamo portare fuori la quantità

in quanto quest’ultima è una quantità costante.
Riscriviamo quindi l’integrale come

e, utilizzando l’integrale di una funzione polinomiale si ricava che

.
Per dare un esempio del fatto che il momento di inerzia cambia rispetto all’asse che teniamo in considerazione, proviamo a calcolare il momento di inerzia della lamina rispetto all’asse che contiene uno dei lati.

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo integrale vedi anche qua

Calcolo del momento di inerzia: esempio 2

Supponiamo di voler calcolare ora il momento di inerzia di una lamina quadrata di massa

in una striscia a distanza

dall’asse avremo che il momento di inerzia vale

. Ora integriamo questa quantità per

che varia da

a

. Dobbiamo quindi calcolare:

.
Portiamo nuovamente fuori le costanti dall’integrale. Avremo quindi che:

E ricordando che l’integrale di

vale

, si avrà che

, che è un risultato diverso da quello che abbiamo trovato prima. In conclusione, dimostrazione della formula a parte, se volessimo calcolare il momento di inerzia di una lamina quadrata omogenea di massa

e lato

che ruota rispetto all’asse che contiene uno dei lati, avremo che

.
Il momento di inerzia ha un’interessante relazione con l’accelerazione angolare.

Per ulteriori approfondimenti sull’accelerazione angolare vedi anche qua