Concetti Chiave
- La legge di gravitazione universale di Newton si basa sulle leggi di Keplero e sull'idea che i fenomeni naturali seguano leggi universali.
- La forza gravitazionale tra due masse è proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che le separa.
- La costante di gravitazione universale G è stata misurata da Cavendish nel 1798 utilizzando una bilancia di torsione.
- Il campo gravitazionale è definito come la forza gravitazionale per unità di massa, con intensità dipendente dalla distanza e dalla massa generatrice.
- L'energia potenziale gravitazionale è una funzione conservativa, dipendente dalla posizione nel campo gravitazionale e non dal percorso seguito.
In questo appunto di Fisica si tratta la Legge di Attrazione Gravitazionale, come si è arrivati alla sua formulazione e tutte le sue caratteristiche.
Indice
Cenni storici
Storicamente, le nostre conoscenze a proposito della forza di gravitazione universale si sono sviluppate a partire da osservazioni astronomiche relative al moto dei pianeti.
Queste misure cinematiche, riassunte da Keplero in tre sintetiche leggi (Leggi di Keplero), furono il punto di partenza dei ragionamenti che portarono Newton a formulare il Secondo Principio della Dinamica ed ad ipotizzare l’espressione corretta per la forza di gravitazione che mutuamente si esercita fra due masse puntiformi. Solo più tardi l’ipotesi di Newton fu confortata da misure dinamometriche statiche eseguite in laboratorio, come la bilancia di torsione di Cavendish.
Nel 1687 Newton pubblicò a Londra un libro in cui riportava i risultati di molti anni di studi ed osservazioni, intitolato I principi matematici della filosofia naturale.
Dalle leggi di Keplero alla legge di gravitazione universale
Newton riuscì a determinare la legge di gravitazione universale partendo dalle leggi di Keplero e basandosi sull’opinione diffusa, dopo i risultati portati dagli studi di Galileo, che i fenomeni della natura sono regolati da leggi universali.
Supponiamo, per agevolare i calcoli, che le orbite percorse dai pianeti siano circolari, anziché ellittiche.
In tale caso semplificato le leggi di Keplero assumono la seguente forma:
Prima legge: i pianeti descrivono intorno al Sole orbite circolari, di cui il Sole è il centro;
Seconda legge: il moto dei pianeti è circolare uniforme;
Terza legge: i quadrati dei tempi impiegati dai pianeti per descrivere le orbite sono proporzionali ai cubi dei raggi delle orbite.
Dalla seconda legge si deduce che i pianeti hanno accelerazione centripeta, per cui sono soggetti ad una accelerazione centripeta diretta verso il Sole.
Siano
m
[/math]
la massa di un pianeta qualunque;
r
[/math]
il raggio dell’orbita;
T
[/math]
il periodo del moto del pianeta considerato.
La forza centripeta cui è soggetto il pianeta ha la seguente espressione:
F_c = \frac{4 (\pi)^2 (m) (r)}{T^2}.
[/math]
Per la terza legge di Keplero si ha che il quadrato del periodo si esprime come:
T^2 = K r^3
[/math]
dove
K
[/math]
è una costante che assume lo stesso valore per tutti i pianeti.
Tale espressione del periodo, sostituita nella forza centripeta precedentemente trovata, fornisce la seguente formula:
F_c = \big(\frac{4 (\pi)^2}{K}\big) \cdot \big(\frac{m}{r^2}\big)
[/math]
da cui imponendo
C = \frac{4 (\pi)^2}{K}
[/math]
dove
C
[/math]
è ovviamente costante,
si ottiene che
F_c = C \big(\frac{m}{r^2}\big).
[/math]
L’espressione della forza
F_c
[/math]
appena trovata ci mostra che la forza di attrazione del Sole è dunque direttamente proporzionale alla massa del pianeta che gli ruota intorno. Inoltre, per il principio di azione e reazione, anche il pianeta attrae il Sole con una forza che dovrà avere la stessa intensità ed essere anche proporzionale alla massa M del Sole. La costante C deve quindi essere proporzionale alla massa del Sole, ossia si deve avere:
C = G M.
[/math]
In conclusione la forza di attrazione reciproca fra pianeta e Sole assume la seguente espressione generale:
F = G \frac{M m}{r^2}.
[/math]
La legge di gravitazione universale
La legge di gravitazione universale cui giunse Newton asserisce che date due masse esiste fra queste una forza attrattiva che ci accingiamo a descrivere come un vettore.
Sia
\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{d^2} \overrightarrow{r}
[/math]
dove
\overrightarrow{F}
[/math]
è il vettore che individua la forza di attrazione gravitazionale
G
[/math]
è la costante di attrazione universale
m_1
[/math]
ed
m_2
[/math]
sono le masse fra cui agisce la forza di attrazione gravitazionale
d
[/math]
è la distanza che separa le due masse di cui sopra
\overrightarrow{r}
[/math]
è il versore che individua la direzione del segmento che unisce
m_1
[/math]
ad
m_2.
[/math]
Il modulo di tale forza, come si può vedere è dato da
F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}
[/math]
da cui possiamo osservare che la forza F di attrazione fra le due masse è direttamente proporzionale alle due masse, quindi tanto maggiori saranno tali masse, tanto maggiore sarà tale forza.
Inoltre si osserva che F è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che separa le stesse due masse, per cui maggiore è la distanza che separa le due masse, minore sarà l’intensità della forza attrattiva che agisce fra le stesse, fino ad essere nulla per distanze infinitamente grandi.
La direzione di F è individuata dalla retta che contiene il segmento che unisce le due masse, mentre il verso è sempre attrattivo.
Il valore della costante di attrazione universale G fu misurato per la prima volta nel 1798 da Cavendish in laboratorio, tramite la bilancia di torsione. La bilancia di torsione, usata da Cavendish, consta di un filo di lunghezza l, capace di reazioni elastiche alla torsione (evidenziabile con opportuna amplificazione ottica) che sostiene un’asta AB alla quale sono appese, a quote notevolmente diverse, due masse sferiche uguali
m_1
[/math]
ed
m_2
[/math]
.
Due grosse masse
M_1
[/math]
ed
M_2
[/math]
, uguali fra loro, sono poste in vicinanza di
m_1
[/math]
ed
m_2
[/math]
, rispettivamente. Il dislivello fra
m_1
[/math]
ed
m_2
[/math]
ha lo scopo di rendere prevalenti le interazioni di
M_1
[/math]
su
m_1
[/math]
e di
M_2
[/math]
su
m_2
[/math]
, rispetto alle interazioni di
M_1
[/math]
su
m_2
[/math]
e di
M_2
[/math]
su
m_1
[/math]
. Per la disposizione geometrica scelta, sull’asta della bilancia di torsione si esercita una coppia di forze che produce una torsione del filo, dalla quale si risale al valore delle forze e quindi della costante G.
La sensibilità della bilancia di torsione è aumentata sfruttando la riflessione di un raggio luminoso sopra uno specchio fissato al filo: il raggio riflesso cade su una scala graduata sulla quale viene letto l’angolo di torsione.
Variando numerose volte la natura, la distanza e le dimensioni delle sferette Cavendish trovò un valore delle costante di attrazione universale pari a
G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{Kg^2}.
[/math]
Si ricorda che tale costante è identica per tutte le masse e dipende solo dalle unità di misura.
Il campo gravitazionale
Un campo di forze indica l’insieme dei valori che una data grandezza fisica, in questo caso la forza di attrazione gravitazionale, assume in una regione dello spazio.
La Terra esercita nel suo spazio circostante un campo di forza, chiamato campo gravitazionale terrestre, per il fatto che una massa m, che chiameremo massa esploratrice, risente nello spazio circostante l’azione della forza di gravità:
\overrightarrow{F} = G \frac{M m}{d^2} \overrightarrow{r}
[/math]
dove
M
[/math]
è la massa della Terra
m
[/math]
è la massa esploratrice
d
[/math]
è la distanza di m dal centro della Terra supposta sferica.
Teoricamente l’estensione della regione in cui è sensibile l’azione gravitazionale terrestre è infinita, in quanto prescindendo dall’azione di altri corpi celesti, la forza diventa nulla solo per distanze infinitamente grandi.
Chiameremo, intensità del campo o semplicemente campo, la grandezza ottenuta dal seguente rapporto:
\overrightarrow{g} = \frac{\overrightarrow{F}}{m}
[/math]
tra la forza di attrazione gravitazionale agente sulla massa m e la massa stessa.
Tenendo conto dell’espressione trovata per F, si ha che:
g = \frac{G \cdot M}{d^2}
[/math]
la cui unità di misura, nel Sistema Internazionale, si esprime in
\frac{m}{s^2}
[/math]
.
Ogni campo di forze ha caratteristiche vettoriali il cui modulo è g, mentre direzione e verso sono individuati dalle linee di campo o linee di forza, le quali godono della proprietà di avere in ogni loro punto la retta tangente diretta come il vettore
\overrightarrow{g}
[/math]
. Si noti che l’intensità del campo dipende dalla massa della Terra che lo genera e dalla distanza.
Energia potenziale gravitazionale
La forza di attrazione gravitazionale è una forza conservativa, ossia il lavoro che essa compie per spostare una massa da una posizione iniziale A ad una posizione finale B, non dipende dal percorso effettuato per spostarsi da A a B, ma soltanto da questi due estremi dello spostamento.
Nel caso in cui un corpo di massa m non rimanga in prossimità della superficie terrestre durante il suo moto, la forza di attrazione gravitazionale non è più costante, ma diminuisce con l’aumentare della distanza d dal centro della Terra, secondo la legge che definisce la forza di attrazione gravitazionale.
Se un punto materiale di massa m, si sposta sulla verticale dalla posizione A alla posizione B, distanti
d_A
[/math]
e
d_B
[/math]
, rispettivamente, per calcolare il lavoro compiuto si deve suddividere l’intervallo
d_A – d_B
[/math]
in tanti intervalli infinitesimi e calcolare su ciascuno il lavoro, in modo da poter considerare la forza F costante.
Il lavoro totale sarà dato dalla somma d tutti questi contributi infinitesimi:
per ogni intervallo infinitesimo si ha
\Delta L_i = G \frac{M m}{d^2} (d_A – d_i)
[/math]
dove
d_i
[/math]
è lo spostamento i- esimo
d^2
[/math]
può essere approssimato da
(d_A)(d_i).
[/math]
Quindi il lavoro sul tratto infinitesimo considerato diventa:
\Delta L_i = G \frac{M m}{(d_A)(d_i)} (d_A – d_i)
[/math]
ossia
\Delta L_i = G M m \big(\frac{1}{d_i} - \frac{1}{d_A}\big)
[/math]
con i che va da 1 ad n, per cui in totale sommando tutti i contributi si ha che il lavoro totale viene fornito dalla seguente espressione:
L = G M m \big(\frac{1}{d_B} - \frac{1}{d_A}\big)
[/math]
in quanto i termini intermedi nella somma si elidono.
In base alla conservatività della forza di attrazione gravitazionale si può definire l’energia potenziale ad essa associata.
La grandezza
U = - G \frac{M m}{d}
[/math]
rappresenta l’energia potenziale della Massa m nel campo gravitazionale generato dalla Terra.
per ulteriori approfondimenti sulla forza di attrazione gravitazionale vedi anche qua
Domande da interrogazione
- Qual è l'origine storica della Legge di Attrazione Gravitazionale?
- Come Newton ha derivato la Legge di Gravitazione Universale dalle leggi di Keplero?
- Qual è l'espressione matematica della Legge di Gravitazione Universale?
- Che cos'è il campo gravitazionale e come si calcola la sua intensità?
- Come si definisce l'energia potenziale gravitazionale e qual è la sua espressione?
La Legge di Attrazione Gravitazionale si è sviluppata a partire dalle osservazioni astronomiche sul moto dei pianeti, sintetizzate nelle leggi di Keplero, e successivamente formulate da Newton nel suo libro "I principi matematici della filosofia naturale" pubblicato nel 1687.
Newton ha utilizzato le leggi di Keplero, supponendo orbite circolari per semplificare i calcoli, per dedurre che la forza centripeta è proporzionale alla massa del pianeta e inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal Sole, portando alla formulazione della legge di gravitazione universale.
La Legge di Gravitazione Universale è espressa come [math] F = G \frac{m_1 m_2}{d^2} [/math], dove [math] F [/math] è la forza di attrazione, [math] G [/math] è la costante di attrazione universale, [math] m_1 [/math] e [math] m_2 [/math] sono le masse coinvolte, e [math] d [/math] è la distanza tra le masse.
Il campo gravitazionale è l'insieme dei valori della forza di attrazione gravitazionale in una regione dello spazio. L'intensità del campo è data da [math] g = \frac{G \cdot M}{d^2} [/math], dove [math] M [/math] è la massa che genera il campo e [math] d [/math] è la distanza dal centro della massa.
L'energia potenziale gravitazionale è associata alla forza di attrazione gravitazionale, ed è definita come [math] U = - G \frac{M m}{d} [/math], dove [math] M [/math] è la massa della Terra, [math] m [/math] è la massa esploratrice, e [math] d [/math] è la distanza dal centro della Terra.
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