Criteri di arrotondamento: regole

In questo appunto di fisica descriviamo quali sono le procedure corrette ogni volta che bisogna arrotondare il risultato di una misura, scegliendo opportunamente il corretto numero di cifre significative. Prima di scendere nel dettaglio ripassiamo brevemente il concetto di misura di una grandezza fisica e quello di operazione di misura. Ricordiamo che gli errori di misura sono inevitabili, vanno trattati in modo statistico e i valori numerici vanno arrotondati in maniera consona.

Concetto di misura in fisica

Ripassiamo il concetto di misura e definizione operativa di una misura.
Cos’è il tempo?
E la massa?
E la lunghezza?
Queste domande riguardano tre grandezze fisiche che fanno parte del sistema internazionale adottato ormai universalmente da molti paesi in tutto il mondo.
Pensiamo alla massa, potrà sembrare strano ma la definizione di questo concetto che semplicemente siamo soliti associare alla quantità di materia del corpo, ha impegnato scienziati del calibro di Newton ed Einstein.
Per fortuna, ai fini dell'indagine fisica dei fenomeni naturali non serve tanto definire l'essenza delle grandezze, cosa peraltro non facile, quanto indicarne il metodo di misura. È sufficiente, perciò, dare una definizione operativa. Una definizione che consiste nella descrizione degli strumenti da usare e del procedimento da seguire per la sua misura.
Da un punto di vista operativo la massa di un corpo è definita come quella proprietà che si misura con una bilancia a bracci uguali.

Definizione operativa di una grandezza fisica

Bisogna posizionare su un piatto della bilancia il corpo di massa incognita e sull'altro piatto vanno messe tante unità campione affinché la bilancia si trovi in equilibrio. La sua massa è uguale al numero di queste unità.
Se come unità abbiamo scelto un cubetto di ferro, e ne abbiamo usato tre vuol dire che la massa del nostro corpo è uguale a quella di tre cubetti di ferro. Il problema della misura della massa è risolto una volta che viene scelto un corpo campione, la cui massa sia assunta come unitaria.
La misura di una grandezza fisica consiste dunque nell'associare alla grandezza un numero che esprime il suo rapporto con un'altra grandezza omogenea, una grandezza dello stesso tipo, usata come unità di misura.
Come si sceglie l'unità di misura?
La scelta è effettuata tenendo conto di due priorità: la prima riguarda la sua invariabilità nel tempo, deve rimanere costante nel tempo, ogni volta che si effettua la misura bisogna avere sempre lo stesso risultato; la seconda riguarda la sua riproducibilità in ogni luogo.
L'unità di misura per la massa è il chilogrammo, l'unità di misura per la lunghezza è il metro, l'unità di misura per il tempo e il secondo e così via.
Come si esprime una misura?
Quando si effettua una misura il risultato viene espresso da un numero accompagnato dall'unità di misura.
Vediamo alcuni esempi:

Un pacco di pasta pesa 0,5 kg.
Nella corsa ad ostacoli si corrono i 400 m.
Un'ora è formata da 3600 secondi.
La temperatura odierna è di 5°C.

Grandezze fondamentali e grandezze derivate

Ricordiamo brevemente che nel sistema internazionale le grandezze fondamentali sono 7: lunghezza, massa, tempo, temperatura assoluta, quantità di sostanza, intensità di corrente e intensità luminosa. A partire da queste è possibile fissare altre grandezze che sono definite derivate, ad esempio: area, volume, densità, peso specifico, velocità, accelerazione, quantità di moto, pressione etc.
L'elenco delle grandezze derivate è davvero lunghissimo.
In fisica si usa il sostantivo dimensioni con un significato particolare: due grandezze hanno le stesse dimensioni fisiche se sono tra loro omogenee, cioè se possono essere misurate in rapporto alla stessa unità di misura. Ad esempio, la lunghezza di una circonferenza, lo spessore di un libro, la distanza tra punti nel piano, sono delle grandezze omogenee perché sono tutte misurabili utilizzando il metro oppure i suoi multipli e sottomultipli.
Le grandezze omogenee possono essere sommate e confrontate tra loro: in geometria, sommando le lunghezze dei lati si trova il perimetro di un poligono.
Non ha senso sommare un tempo con una lunghezza perche non sono omogenee, hanno dimensioni differenti.
E se ho metri e centimetri oppure grammi e chilogrammi?
In questo caso le unità di misura vano uniformate, mediante equivalenze e poi si possono effettuare tutte le operazioni desiderate.
Per ulteriori approfondimenti sulle grandezze fisiche vedi qua

Misure dirette e indirette

L’operazione di misura diretta avviene tramite il confronto di una grandezza con un campione omogeneo assunto come unità. Sono misure diretta la misura di un intervallo di tempo con il cronometro, la misura di una massa con la bilancia , la misura della lunghezza di un’asta con il metro. In molti casi la misura diretta non può essere eseguita: non è possibile misurare la massa di un atomo o quella della Terra !!
In casi come questi si opera in modo indiretto.
Misurare indirettamente una grandezza significa trovare il suo valore attraverso una relazione matematica che la lega ad altre grandezze, dopo aver eseguito la misura di queste ultime.
Sono misure indirette:

• la misura dell’area di una superficie
• la misura del volume di un solido
• la misura della temperatura corporea con il termometro

Nel caso dell’area e del volume, misuriamo in maniera diretta le dimensioni della figura e poi con le formule calcoliamo, in maniera indiretta, il valore numerico della grandezza.
Nel caso della temperatura, il termometro sfrutta un principio fisico che è la dilatazione lineare del mercurio.
Una volta effettuate le misure, si pone il problema di fornire il valore esatto o almeno con il numero corretto di cifre.
Ogni misura viene effettuata con un apposito strumento, che rende obiettive le nostre sensazioni individuali. Tuttavia le operazioni di misura, pur se seguite con le tecniche più accurate, non ci fanno conoscere il valore esatto della grandezza misurata. Lo rileviamo solo con una certa approssimazione.
Per ulteriori approfondimenti sulla dilatazione lineare vedi qua

Errori di misura

La misura di ogni grandezza fisica è sempre soggetta ad errori, esistono:

• errori di sensibilità: legati alla sensibilità dello strumento
• errori casuali: imprevedibili e legati a diversi fattori che possono agire sia per eccesso che per difetto
• errori sistematici: dovuti a difetti strumentali oppure a errata procedura di misurazione da parte dell’operatore

Ecco perché il risultato della misura di una grandezza fisica

, si esprime come somma di due termini di cui primo è il valore attendibile

e il secondo esprime l’errore assoluto

:

Gli errori di misura sono inevitabili.
Attraverso le operazioni di misura ripetute e con l’analisi statistica dei dati è possibile perfezionare il risultato.
Facendo molte misure il valore attendibile è dato dalla media aritmetica delle misure e l’errore assoluto deve essere stimato come errore massimo o errore statistico detto anche semidisperisone dell’insieme di misure, perche ottenuto dalla semidifferenza

, tra il valore massimo

e quello minimo

:

Incertezza sulla misura e cifre significative

Con quante cifre significative si deve scrivere il valore dell’incertezza?
Come abbiamo detto, quando misuriamo si fanno inevitabilmente errori di vario tipo. Quando si misura la grandezza una sola volta, il valore attendibile della grandezza è la risposta fornita dallo strumento e l’incertezza si assume pari alla la sensibilità dello strumento. Quando vogliamo preparare il nostro dolce preferito, per pesare con la bilancia da cucina lo zucchero, non ripetiamo l’operazione più volte, ma effettuiamo una sola misurazione.
Se la bilancia ha una sensibilità di 0,01 kg e misuriamo una massa m di 0,20 kg, scriviamo:

In questo modo stiamo dicendo che il valore esatto è compreso tra:

Scrivendo:

abbiamo preso:

• come
  [math]\overline {x}[/math]
  , la quantità letta sulla nostra bilancia
• come
  [math]e_a[/math]
  , la sensibilità dello strumento

Il valore della grandezza si scrive in modo che la sua ultima cifra significativa sia nella stessa posizione decimale dell’incertezza.
Per ulteriori approfondimenti sugli strumenti di misura e loro caratteristiche vedi qua

Arrotondamento per eccesso e per difetto

Quando si misura una grandezza

volte nelle medesime condizioni, come valore attendibile consideriamo la media aritmetica dei valori e come errore assoluto la semidispersione, in questo caso potrebbe essere necessario un arrotondamento per esprimere il risultato con una cifra significativa.
Arrotondare un numero significa sostituirlo con un altro che abbia meno cifre significative. Per arrotondare, dobbiamo scegliere il numero (con la quantità voluta di cifre significative) che meglio approssima quello originale
Se arrotondiamo il numero 12,436 a 12,4, perché 12,4 è un’approssimazione per difetto con tre cifre significative, perché è più vicino di 12,5 a 12,436.
Se arrotondiamo il numero 234,58 a 234,6 è un’approssimazione per eccesso con quattro cifre significative quando
perché 234,6 è più vicino di 234,5 a 234,58.
Quando arrotondiamo un numero come 2,625 a 2,63, cioè quando la cifra che viene eliminata è 5, è ancora, un’approssimazione per eccesso.
Valgono le seguenti regole:
se la prima cifra a destra che si trascura è minore di 5, si lascia invariata la cifra che resta a sinistra.
se la prima cifra a destra che si trascura è maggiore o uguale a 5, la cifra che resta va aumentata di una unità.
Se, per esempio, un intervallo di tempo t vale

e l’incertezza della sua misura è

, allora bisogna arrotondare il valore della misura in modo che abbia una sola cifra dopo la virgola.
La cifra a destra di 2 è 6, e poichè

il 2 diventa 3.

Nelle misure di alta precisione le incertezze sono espresse, a volte, con due cifre significative
Il valore della grandezza si arrotonda per difetto o per eccesso a seconda dei casi, in corrispondenza della posizione dell'unica cifra diversa da 0 dell'incertezza già arrotondata.
E se si deve arrotondare l’incertezza?
L'incertezza va arrotondata sempre per eccesso
Se l'incertezza ha più di una cifra significativa e deve essere arrotondata, è più opportuna arrotondarla sempre per eccesso, anche se la cifra subito a destra della prima cifra significativa è minore di 5. Si deve arrotondare per difetto solo se la cifra subito a destra è 0.