Problemi svolti di geometria sul parallelogramma

In questo appunto di geometria risolveremo una serie di problemi sul parallelogramma sfruttando alcune delle sue proprietà. Prima di passare alle applicazioni numeriche ripassiamo velocemente le caratteristiche di questa figura geometrica piana.

Parallelogramma definizione e proprietà

Il parallelogramma appartiene ai quadrilateri ed è un poligono convesso. I suoi quattro lati sono a due a due paralleli e congruenti. Per disegnare un parallelogramma basta tracciare due linee parallele e poi intersecare queste due con altre due parallele.
Un teorema afferma tutte le proprietà dei parallelogrammi.
TEOREMA
In ogni parallelogramma:

• i lati opposti sono congruenti,
• gli angoli opposti sono congruenti;
• gli angoli adiacenti a ciascun lato sono angoli supplementari;
• le due diagonali si dividono a metà reciprocamente.

Condizioni sufficienti perché un quadrilatero sia un parallelogramma

Dal teorema sul parallelogramma, è possibile derivare le condizioni sufficienti che consentono di stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma.
Pertanto, un quadrilatero che possiede una di queste caratteristiche è un parallelogramma:

• lati opposti congruenti;
• angoli opposti congruenti;
• angoli adiacenti a ciascun lato, supplementari;
• diagonali che si intersecano nei loro punto medio;
• coppie di lati opposti paralleli e congruenti.

In virtù di questi criteri, il rombo, il rettangolo e il quadrato sono particolari parallelogrammi.
Il rombo infatti ha i lati a due a due congruenti e le sue diagonali si intersecano nel punto medio.
Il rettangolo ha i lati opposti congruenti e paralleli, le diagonali che si intersecano nel punto medio e gli angoli sono tutti di 90°.
Il quadrato ha i quattro lati congruenti e paralleli, ha le diagonali congruenti, perpendicolari e che si intersecano nel punto medio, e tutti gli angoli sono di 90°.
Proponiamo nel paragrafo successivo lo svolgimento di alcuni problemi di geometria di vario tipo sul parallelogramma.

Per ulteriori approfondimenti sui poligoni vedi qua

Per altri problemi di geometria svolti sul rombo vedi qua

Problemi svolti di geometria sul parallelogramma

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Svolgimento
I quattro angoli interni di un parallelogramma sono due acuti e due ottusi. Sapendo che l’angolo esterno dato è un angolo acuto vuol dire che esso è adiacente all’angolo interno ottuso punto per ottenere la misura del primo angolo interno con ampiezza maggiore di 90° basta sottrarre a 180° il valore di 37°.
L’ampiezza dell’angolo interno ottuso è uguale a:

Ogni coppia di angoli adiacenti allo stesso lato sono a loro volta supplementari, quindi, la coppia di angoli acuti interni ha la stessa ampiezza dell'angolo esterno ovvero ciascuno di essi misura 37°.

Problema 2
In un parallelogramma un angolo è metà del suo consecutivo. Determina l'ampiezza dei quattro angoli.
I quattro angoli interni del parallelogramma sono congruenti a coppie indichiamo un angolo con

e l'altro con

, possiamo riscrivere il dato del problema nel modo seguente:

In un poligono la somma degli angoli interni è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati -2, nel parallelogramma avremo quindi un totale di 360°.
Essendo gli angoli consecutivi uno la metà dell’altro, ed essendo congruenti gli angoli opposti, Possiamo esprimere tutto in funzione di un unico angolo ad esempio

e imporre che la loro somma valga due angoli piatti:

Problema 3
Calcola il perimetro di un parallelogramma ABCD sapendo che il lato AB misura 24 cm e il lato consecutivo è 5/6 di AB.
Per calcolare il perimetro dobbiamo determinare la misura del lato consecutivo e poi effettuare la somma dei quattro lati essendo congruenti a coppie.
La misura del lato consecutivo e i 5/6 di 24 cm, dividiamo 24 per 6 e poi moltiplichiamo per 5:

La misura del lato consecutivo è di 20 cm. Il perimetro è uguale a:

Problema 4
La diagonale AC di un parallelogramma divide l’angolo A in due angoli rispettivamente di 20° e di 120°. Determina l’ampiezza degli angoli del triangolo ABC.
Consideriamo un parallelogramma di vertici ABCD e la diagonale AC congiunge il vertice A con il vertice C, non consecutivi.
L'angolo nel vertice A è un angolo ottuso essendo il suo valore di 140°. Questo significa che l'altro angolo del parallelogramma è acuto ed è il supplementare di A, perciò misura 40°.
Il triangolo ABC risulta dunque un triangolo ottusangolo: l'angolo in A è 120° quello in B è 40° e per complemento a 180 l'angolo in C ha un’ampiezza di 20°.

Problema 5
Nel parallelogramma ABCD, con A e B adiacenti al medesimo lato, siano AK e BH rispettivamente le bisettrici degli angoli A e B. Chiamiamo O il punto di incontro di AK con BH. Sapendo che l'angolo B misura 70°, calcola la misura dell'angolo ottuso A del parallelogramma e di ciascun angolo dei triangoli ABH e ABO.
(Risultato: 110°, 35°, 35°, 110°, 35°, 55°, 90°)

Svolgimento
In un parallelogramma la somma degli angoli adiacenti ad un medesimo lato è pari a 180°
Dunque:
A + B = 180°
A = 180° - B
A = 180° - 70° = 110°

Il triangolo ABH ha un angolo pari ad A e un angolo pari alla metà di B (ABH).
BAH = 110°
ABH = B/2 = 70/2 = 35°
Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°, il terzo angolo (AHB) è facilmente determinabile:
AHB = 180° - (110° + 35°) = 35°

Il triangolo ABO ha invece un angolo pari alla metà di A (BAO) e un angolo pari alla metà di B (ABO).
BAO = 110°/2 = 55°
ABO = B/2 = 70/2 = 35°
Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°, il terzo angolo (AOB) è facilmente determinabile.
AHB = 180° - (55° + 35°) = 90°

Ricordiamo che la bisettrice è il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dell'angolo. Inoltre le semirette che contengono le bisettrici di due angoli, interni ad un triangolo, sono tra loro perpendicolari. Questo significa che il triangoli AOB, BOK, AOH e HOK sono tutti triangoli rettangoli nel vertice O.

Per ulteriori approfondimenti sugli angoli vedi qua