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Funzioni goniometriche e inverse. (tangente)


Funzione tangente.
  • f: α ∈ R - {π/2 + kπ} -> tanα ∈ R

- La funzione non è iniettiva, in quanto è una funzione periodica di periodo π, per cui: ad angoli distinti in R si associano gli stessi valori del seno (per cui ci sono angoli distinti che hanno la stessa immagine).

- La funzione, al contrario, è suriettiva, in quanto ogni numero reale è immagine di almeno un angolo α.

La funzione non è biunivoca/biettiva, in quanto non è iniettiva: una funzione per essere invertibile dev'essere necessariamente biunivoca/biettiva. Affinchè si possa, quindi, invertire questa funzione possiamo applicare una restrizione al campo di esistenza: ovvero, piuttosto che considerare tutto il campo d'esistenza (ovvero R), ne consideriamo soltanto una parte. L'intervallo che andremo a considerare sarà, quindi: [-π/2; π/2] e lo chiameremo g.

La funzione g:

f: α ∈ [-π/2; π/2] -> tanα ∈ R

Sarà sia: iniettiva che suriettiva, quindi biettiva: essendo biettiva può finalmente essere invertita. La funzione inversa sarà:

[math]g^-1[/math]
: y ∈ R -> arctan(y) ∈ [-π/2; π/2].
La funzione arcotangente si definirà, quindi, come l'inversa della restrizione della funzione seno all'intervallo [-π/2; π/2].
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