Funzioni goniometriche inverse

In questo appunto si descrivono le funzioni goniometriche inverse. Con le funzioni goniometriche dirette: seno, coseno, tangente e le altre correlate, dato un angolo qualsiasi della circonferenza goniometrica, è possibile assegnare il valore a ciascuna di esse. Le funzioni goniometriche inverse servono a compiere il passaggio opposto, ovvero noto il valore numerico assunto dalla funzione, bisogna risalire all’angolo corrispondente. Vediamo in questo appunto le caratteristiche delle goniometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente.

Funzioni richiami teorici

Riprendiamo in questo paragrafo le definizioni di base sulle funzioni, prima di passare alle funzioni goniometriche inverse.
Dati due insiemi A e B, chiamiamo funzione la relazione che ad ogni elemento di A, associa uno e un solo elemento di B. Quando gli insiemi A e B sono sottoinsiemi di la funzione si dice reale di variabile reale.
In particolare ricordiamo la definizione di funzione biunivoca ovvero una funzione che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B, e ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A. Per fare mente locale ricordiamo la rappresentazione con i diagrammi di Eulero Venn, in questo caso la funzione biunivoca è rappresentata da una freccia che parte dall’insieme A e arriva su un solo elemento di B.
Ricordiamo ancora che la funzione inversa di una funzione è quella funzione che consente dato il valore di y di calcolare il corrispondente valore di x, ma questa operazione si può fare solamente nel caso di corrispondenze biunivoche, cioè di funzioni che ad ogni valore di x associano un solo valore di y e viceversa.
Le funzioni goniometriche che non sono delle corrispondenze biunivoche nell’insieme dei numeri reali possono essere considerate tali se ci limitiamo ad alcuni intervalli particolari. Precisamente dobbiamo restringere il dominio di queste funzioni, e solo in questi intervalli ristretti le funzioni diventano invertibili, perché le funzioni di partenza sono tutte periodiche.
Vediamo ora quali sono le funzioni goniometriche inverse.

Funzione arcoseno, inversa della funzione seno

Le funzioni goniometriche associano alla variabile indipendente x, che è un angolo dei valori numerici reali.
In particolare la funzione ha per dominio tutto e per codominio l’intervallo chiuso e limitato . Si tratta di una funzione dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani.
Se consideriamo una retta y=k con , essa interseca il grafico della funzione seno in infiniti punti, a dimostrazione del fatto che la funzione non è biunivoca nell’intero dominio.

Restringendo il dominio all’intervallo

, La funzione risulta biunivoca e dunque invertibile.
La funzione inversa del seno si chiama arcoseno e si scrive:

Oppure

Il dominio di questa funzione è il codominio della funzione seno, il codominio dell’inversa coincide con la restrizione del dominio della funzione diretta cioè:

Per ottenere il grafico della funzione inversa basta costruire il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, della funzione seno, considerata nella restrizione del dominio.

La funzione è strettamente crescente nel suo dominio ed è nulla nell'origine.
Con la funzione inversa arcoseno è possibile risalire al valore di un angolo, noto il valore del seno.
Ad esempio abbiamo:

• [math]arcsin(1)={\pi \over 2}[/math]
• [math]arcsin{1 \over 2}={\pi \over 6}[/math]

Funzione arcocoseno, inversa della funzione coseno

Per la funzione inversa di valgono le stesse considerazioni fatte al paragrafo precedente. Anche la funzione coseno è periodica di periodo . Il suo grafico, la cosinusoide, intersechebbe una retta orizzontale di equazione y=k, in un numero infinito di punti. Sempre perché la funzione non è biunivoca, perciò per poterla invertire dobbiamo anche in questo caso restringere il dominio. L’intervallo di restrizione scelto è .

La funzione inversa è detta arcocoseno e si può indicare nei due modi seguenti:

Oppure

Il grafico si ottiene sempre tracciando il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante della funzione diretta

.
Il dominio della funzione arcocoseno è lo stesso della funzione arcocoseno ovvero, l’intervallo chiuso e limitato .
In questo intervallo la funzione risulta strettamente decrescente.
Con la funzione inversa arcocoseno è possibile risalire al valore di un angolo, noto il valore del coseno.
Ad esempio abbiamo:

• [math]arccos(-1)=\pi[/math]
• [math]arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})={\pi \over 6}[/math]

Funzione arcotangente, inversa della funzione tangente

Anche la terza funzione goniometrica inversa si ottiene restringendo il dominio della funzione diretta.
Ricordiamo che la funzione tangente è definita in tutto R tranne nei punti:
La scrittura rappresenta tutti i punti corrispondenti all'angolo di 90° con periodo di 180°; in questi punti il grafico della tangente presenta degli asintoti verticali.

Il codominio della funzione tangente e tutto R.
Restringendo il dominio all’intervallo aperto

, è possibile definire anche la funzione inversa arcotangente.
La funzione inversa si può indicare nei due modi seguenti:

Il grafico si ottiene sempre tracciando il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante della funzione diretta

.

Il dominio della funzione arcotangente coincide con il codominio della funzione tangente quindi tutto l'insieme dei numeri reali. Il codominio invece corrisponde alla restrizione del dominio fatta per la funzione tangente, cioè L’intervallo aperto

.
Gli estremi dell'intervallo sono ora due asintoti orizzontali.
Nell’intero dominio la funzione arcotangente è una funzione strettamente crescente con un unico zero nell'origine.
Per approfondimenti sugli asintoti vedi anche qui

Funzione arcocotangente, inversa della funzione cotangente

La funzione cotangente è reciproca a quella della tangente infatti essa è definita come il rapporto tra il coseno di un angolo e il seno dell'angolo stesso:

Il dominio D di questa funzione è tutto l’insieme dei numeri reali tranne i valori corrispondenti agli angoli che hanno seno nullo:

Osserviamo il grafico della funzione e vediamo che ci sono tutti asintoti verticali in corrispondenza di questi punti esclusi dal dominio.

Effettuando una restrizione del dominio all’intervallo aperto

, possiamo definire la funzione inversa arcocotangente.

La funzione si indica con la seguente simbologia:

Il dominio della funzione è tutto R, il codominio è l'intervallo aperto

, ovvero la restrizione fatta al dominio della funzione diretta.