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Funzioni goniometriche e inverse. (coseno)


Funzione coseno.
  • f: α ∈ R -> cosα ∈ [-1;1]

- La funzione non è iniettiva, in quanto è una funzione periodica di periodo 2π, per cui: ad angoli distinti in R si associano gli stessi valori del coseno (per cui ci sono angoli distinti che hanno la stessa immagine).

- La funzione, al contrario, è suriettiva, in quanto ogni numero n reale compreso tra -1 ed 1 è immagine di almeno un angolo α.

La funzione non è biunivoca/biettiva, in quanto non è iniettiva: una funzione per essere invertibile dev'essere necessariamente biunivoca/biettiva. Affinchè si possa, quindi, invertire questa funzione possiamo applicare una restrizione al campo di esistenza: ovvero, piuttosto che considerare tutto il campo d'esistenza (ovvero R), ne consideriamo soltanto una parte. L'intervallo che andremo a considerare sarà, quindi: [0; π] e lo chiameremo g.

La funzione g:

f: α ∈ [0; π] -> cosα ∈ [-1;1]

Sarà sia: iniettiva che suriettiva, quindi biettiva: essendo biettiva può finalmente essere invertita. La funzione inversa sarà:

[math]g^-1[/math]
: y ∈ [-1;1] -> arccos(y) ∈ [0; π].
La funzione arcocoseno si definirà, quindi, come l'inversa della restrizione della funzione seno all'intervallo [0; π].
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