In quest'appunto troverai le principali definizioni relative alle funzioni con un particolare focus sulla funzione inversa.
Indice
Che cos'è una funzione e qual è la sua utilità
Si definisce funzione una relazione che lega due insiemi, chiamati dominio e codominio. La caratteristica principale che rende una relazione qualsiasi una funzione è la seguente: ogni elemento del dominio può essere associato a uno e un solo elemento del codominio. Considerando che:-
[math]X[/math]è l'insieme chiamato dominio della funzione. A seconda delle dimensioni del dominio la funzione può avere una o più variabili. Se, infatti, il dominio della funzione può essere definito attraverso il prodotto cartesiano tra più insiemi, allora la funzione è a due variabili (ciò significa che, nella sua equazione, compaiono due incognite)
-
[math]Y[/math]è l'insieme chiamato codominio della funzione
In termini matematici, si definisce funzione la relazione
[math]f:X\rightarrow Y[/math]
, in cui ogni elemento che appartiene all'insiemedominio viene associato ad un elemento che appartiene all'insieme codominio. Definiti [math]x[/math]
gli elementi del dominio, l'elemento associato dalla funzione è indicato con [math]f(x)[/math]
.
Come classificare correttamente le funzioni
Le funzioni matematiche sono quelle funzioni che possono essere indicate attraverso l'utilizzo di un'equazione matematica. La principale suddivisione in categorie può essere effettuata osservando il tipo di argomento di una funzione. In particolare:- se una funzione è algebrica, il suo argomento presenta solo ed esclusivamente operazioni algebriche. Tra queste possiamo riconoscere le funzioni polinomiali ([math]y=2x^2+x+2[/math]) e le equazioni in cui è presente la radice quadrata[math]y=\sqrt{\frac{3x+2}{4x^2+2x+1}}[/math]
- le funzioni trascendenti, invece, sono funzioni matematiche in cui sono presenti operazioni particolari. Tra le funzioni di questo tipo vi è il logaritmo([math]y=log(x)[/math]), l'esponenziale([math]y=10e^x[/math]) e tutte le funzioni trigonometriche come il seno([math]y=sen(x)[/math]), il coseno([math]y=cos(x)[/math]), la tangente([math]y=tan(x)[/math]), la cotangente ([math]y=cotan(x)[/math]) etc.
Come si definisce una funzione inversa
Se[math]f:A\to B[/math]
è biunivoca, si può definire la funzione inversa, che si indica con il simbolo [math]f^{-1}[/math]
. Tale funzione associa ad ogni [math]x \in B[/math]
la sua controimmagine[math]x \in A[/math]
. Questa controimmagine, essendo [math]f[/math]
biunivoca, esiste sempre ed è unica e perciò anche [math]f^{-1}[/math]
è una funzione che è detta funzione inversa della funzione [math]f[/math]
.Per tale motivo si dice che una funzione biunivoca è invertibile.
Se
[math]y= f(x)[/math]
è l'equazione di una funzione matematica biunivoca, si avrà [math] f^{-1}(y)= x \Longleftrightarrow y= f(x)[/math]
o anche[math] f^{-1}:y \to x = f:x \to y[/math]
.Quando l'equazione
[math]y=f(x)[/math]
è univocamente risolubile rispetto a [math]x[/math]
, è senz'altro possibile avere l'espressione analitica della funzione inversa.Dopo aver ricavato,se possibile,dall'equazione
[math]y=f(x)[/math]
,l'equazione [math]x=g(y)[/math]
della funzione inversa,si può eseguire,in quest'ultima,la sostituzione [math]x\rightarrow y; y \rightarrow x[/math]
, ottenendo così l'equazione [math]y=g(x)[/math]
della funzione inversa con [math]x[/math]
variabile indipendente e con [math]y[/math]
variabile dipendente.Il grafico di
[math]y=g(x)[/math]
si ottiene perciò da quello della funzione [math]y=f(x)[/math]
mediante la trasformazione geometrica corrispondente alla sostituzione [math]x\rightarrow y; y -> x[/math]
, e cioè mediante una simmetria rispetto alla bisettrice [math]y=x[/math]
del primo e del terzo quadrante. Tale simmetria, trasformando in un generico punto di coordinate [math](A,B)[/math]
nel punto di coordinate [math](B,A)[/math]
, trasforma, nel piano[math]xOy[/math]
, il grafico di [math]y=f(x)[/math]
nel grafico di [math]y=g(x)[/math]
.
Esercizio sulle funzioni matematiche
Leggi le seguenti affermazioni e indica quali/quale sono/è false/falsa:- La funzione[math]y=cos(x)[/math]non è una funzione matematica
- Una funzione può presentare nell'argomento la radice quadrata
- La funzione è una relazione matematica che associa ad ogni elemento dell'insieme dominio almeno un elemento dell'insieme codominio
- La funzione è una relazione matematica che associa ad ogni elemento dell'insieme dominio un solo elemento dell'insieme codominio
Svolgimento e commenti
Le affermazioni false nel primo esercizio sono due: la prima e la terza. La funzione[math]y=cos(x)[/math]
è una funzione matematica e in particolare è una funzione trigonometrica, la quale appartiene al gruppo delle funzioni trascendentali. L'altro errore riguarda la definizione rigorosa di funzione. Come abbiamo ribadito precedentemente, si definisce funzione una relazione che lega per ogni elemento del dominio uno e uno solo elemento del codominio.Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni inverse vedi anche qui
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