Cosa sono le funzioni e come si definisce la funzione inversa

In quest'appunto troverai le principali definizioni relative alle funzioni con un particolare focus sulla funzione inversa.

Che cos'è una funzione e qual è la sua utilità

Si definisce funzione una relazione che lega due insiemi, chiamati dominio e codominio.

La caratteristica principale che rende una relazione qualsiasi una funzione è la seguente: ogni elemento del dominio può essere associato a uno e un solo elemento del codominio. Considerando che:

• [math]X[/math]
  è l'insieme chiamato dominio della funzione. A seconda delle dimensioni del dominio la funzione può avere una o più variabili. Se, infatti, il dominio della funzione può essere definito attraverso il prodotto cartesiano tra più insiemi, allora la funzione è a due variabili (ciò significa che, nella sua equazione, compaiono due incognite)
• [math]Y[/math]
  è l'insieme chiamato codominio della funzione

In termini matematici, si definisce funzione la relazione

, in cui ogni elemento che appartiene all'insiemedominio viene associato ad un elemento che appartiene all'insieme codominio. Definiti

gli elementi del dominio, l'elemento associato dalla funzione è indicato con

.

Come classificare correttamente le funzioni

Le funzioni matematiche sono quelle funzioni che possono essere indicate attraverso l'utilizzo di un'equazione matematica. La principale suddivisione in categorie può essere effettuata osservando il tipo di argomento di una funzione. In particolare:

• se una funzione è algebrica, il suo argomento presenta solo ed esclusivamente operazioni algebriche. Tra queste possiamo riconoscere le funzioni polinomiali (
  [math]y=2x^2+x+2[/math]
  ) e le equazioni in cui è presente la radice quadrata
  [math]y=\sqrt{\frac{3x+2}{4x^2+2x+1}}[/math]
• le funzioni trascendenti, invece, sono funzioni matematiche in cui sono presenti operazioni particolari. Tra le funzioni di questo tipo vi è il logaritmo(
  [math]y=log(x)[/math]
  ), l'esponenziale(
  [math]y=10e^x[/math]
  ) e tutte le funzioni trigonometriche come il seno(
  [math]y=sen(x)[/math]
  ), il coseno(
  [math]y=cos(x)[/math]
  ), la tangente(
  [math]y=tan(x)[/math]
  ), la cotangente (
  [math]y=cotan(x)[/math]
  ) etc.

Come si definisce una funzione inversa

Se

è biunivoca, si può definire la funzione inversa, che si indica con il simbolo

. Tale funzione associa ad ogni

la sua controimmagine

. Questa controimmagine, essendo

, esiste sempre ed è unica e perciò anche

è una funzione che è detta funzione inversa della funzione

.
Per tale motivo si dice che una funzione biunivoca è invertibile.

Se

è l'equazione di una funzione matematica biunivoca, si avrà

o anche

.
Quando l'equazione

è univocamente risolubile rispetto a

, è senz'altro possibile avere l'espressione analitica della funzione inversa.

Dopo aver ricavato,se possibile,dall'equazione

,l'equazione

della funzione inversa,si può eseguire,in quest'ultima,la sostituzione

, ottenendo così l'equazione

della funzione inversa con

variabile indipendente e con

variabile dipendente.

Il grafico di

si ottiene perciò da quello della funzione

mediante la trasformazione geometrica corrispondente alla sostituzione

, e cioè mediante una simmetria rispetto alla bisettrice

del primo e del terzo quadrante. Tale simmetria, trasformando in un generico punto di coordinate

nel punto di coordinate

, trasforma, nel piano

, il grafico di

nel grafico di

.

Esercizio sulle funzioni matematiche

Leggi le seguenti affermazioni e indica quali/quale sono/è false/falsa:

• La funzione
  [math]y=cos(x)[/math]
  non è una funzione matematica
• Una funzione può presentare nell'argomento la radice quadrata
• La funzione è una relazione matematica che associa ad ogni elemento dell'insieme dominio almeno un elemento dell'insieme codominio
• La funzione è una relazione matematica che associa ad ogni elemento dell'insieme dominio un solo elemento dell'insieme codominio

Svolgimento e commenti

Le affermazioni false nel primo esercizio sono due: la prima e la terza. La funzione

è una funzione matematica e in particolare è una funzione trigonometrica, la quale appartiene al gruppo delle funzioni trascendentali. L'altro errore riguarda la definizione rigorosa di funzione. Come abbiamo ribadito precedentemente, si definisce funzione una relazione che lega per ogni elemento del dominio uno e uno solo elemento del codominio.

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni inverse vedi anche qui