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Asintoto obliquo di una funzione


Si dice che il grafico di una funzione presenta un asintoto se si avvicina arbitrariamente ad una linea retta (detta appunto "asintoto" della funzione) senza mai intersecarla neppure all'infinito.

Gli asintoti possono essere di tre tipi: verticali, orizzontali e obliqui.

Si dice che una funzione presenta un asintoto verticale oppure orizzontale quando il suo grafico tende ad una linea retta verticale o orizzontale in corrispondenza di certi valori della x.

Ma spesso e volentieri può accadere che la linea retta a cui tende la funzione non sia né verticale né orizzontale. In quel caso si dice che la funzione presenta un asintoto obliquo. La sua definizione è la seguente:

La linea retta y = ax + b (con a diverso da 0) è un asintoto obliquo del grafico di y= f(x) se:

[math]\lim_{x\to -∞}{(f(x)-(ax+b)) = 0}[/math]

Oppure se:
[math]\lim_{x\to +∞}{(f(x)-(ax+b)) = 0}[/math]

Oppure se le due situazioni si presentano entrambe.

Se le due situazioni si presentano entrambe si dice che l'asintoto è bilatero.

Vediamo di fare un piccolo esempio chiarificatore.

Esempio


Prendiamo la seguente funzione:
[math] f(x) = \frac{x^2+1}{x}= x + \frac{1}{x} [/math]

Questo grafico ha certamente un asintoto obliquo bilatero, ed esso è rappresentato dalla retta: y = x. Infatti accade che:

[math]\lim_{x\to \pm∞}{(f(x)-x)} = \lim_{x\to \pm∞}{\frac{1}{x}} = 0[/math]

Solitamente quelle che presentano asintoti obliqui sono le funzioni razionali. Le funzioni razionali sono le funzioni nella forma:

[math]\frac{Pm(x)}{Qn(x)}[/math]

Dove P e Q sono polinomi, ed m ed n sono i loro gradi. Supponiamo che essi non abbiano fattori comuni lineari.

Gli asintoti delle funzioni razionali sono determinati completamente dalle caratteristiche dei polinomi costituenti la funzione stessa. Questo vale naturalmente anche per gli asintoti obliqui.

Diremo infatti che il grafico della funzione presenta un asintoto obliquo bilatero se m = n + 1. Questo asintoto può essere trovato dividendo Pm per Qn in modo da ottenere un quoziente lineare ax + b e un resto R che sia un polinomio al massimo di grado n -1.

Detto più semplicemente:

[math]f(x) = ax + b + \frac{R(x)}{Qn(x)}[/math]

L'asintoto obliquo è y = ax + b.

Esempio


Prendiamo la seguente funzione:
[math] f(x) = \frac{x^2+2x + 4}{2x}= \frac{x}{2}+ 1 + \frac{2}{x} [/math]

Questo grafico ha un asintoto obliquo in corrispondenza della retta:

[math]y = \frac{x}{2}+ 1[/math]
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