Asintoto obliquo

Questo appunto di analisi matematica tratta degli asintoti di una funzione, in particolare l’asintoto obliquo. Diamo una panoramica generale dell’argomento a partire dalla etimologia greca della parola, che ne spiega velocemente il significato. La ricerca degli asintoti di una funzione passa attraverso il calcolo dei limiti nei punti di discontinuità della funzione e agli estremi del dominio. Ai fini di una maggiore comprensione dell’argomento è consigliabile un ripasso generale della teoria è del calcolo dei limiti.

Asintoto, dal greco “che non incontra”

I grafici di alcune funzioni si estendono all’infinito come ad esempio la parabola, l’iperbole, le funzioni esponenziali e logaritmiche. Per questi grafici possono esistere delle rette chiamate asintoti che godono della proprietà di essere tangenti alla curva all’infinito.
Il termine asintoto deriva dal vocabolo greco asymptotos, il cui significato è “che non incontra”. L’aggettivo asintotico significa dunque ciò che tende ad avvicinarsi sempre più a qualcosa senza mai raggiungerlo o coincidere con esso.
Definizione di asintoto per il grafico di una funzione.
In riferimento alla figura sotto, si dice che una retta r è un asintoto per il grafico di una funzione che si estende all’infinito quando, detto P un punto del grafico e H la sua proiezione ortogonale sulla retta, la distanza tende a zero al tendere del punto P all’infinito, cioè al tendere all’infinito di almeno una delle coordinate di P.

In un piano cartesiano ortogonale Oxy, un asintoto può essere:

• parallelo all'asse y, e si definisce verticale;
• parallelo all’asse x, si definisce orizzontale;
• obliquo rispetto agli assi.

Asintoto verticale

Un asintoto verticale è una retta verticale del tipo , cioè ad ascissa costante, è parallela all'asse delle ordinate e approssima l'andamento di una funzione in corrispondenza del punto k, che è un punto di accumulazione del dominio, in cui la funzione diverge, cioè tende a .
Se indichiamo con il punto di accumulazione del dominio della funzione f(x) possiamo generalizzare come segue:
una retta di equazione è un asintoto verticale per il grafico della funzione f(x) se, per oppure , la funzione tende a .
Se soltanto il limite sinistro è infinito si ha un asintoto verticale sinistro mentre se soltanto il limite destro è infinito si ha un asintoto verticale destro. Nella figura sottostante sono riportati i tre casi:

• a) asintoto verticale destro e sinistro;
• b) asintoto verticale solo a sinistra;
• c) asintoto verticale solo a destra;

Da quanto detto segue che gli asintoti verticali vanno ricercati nei punti in cui la funzione tende all’infinito, cioè punti di discontinuità di seconda specie per la funzione.

Asintoto orizzontale

Si dice che una retta di equazione è un asintoto orizzontale del grafico di una funzione f(x) se:

Anche in questo caso si parla di asintoto orizzontale destro se:

asintoto orizzontale sinistro se:

Nella figura sottostante sono rappresentati i tre casi:

• a) asintoto orizzontale destro o sinistro
• b) asintoto orizzontale destro
• c) asintoto orizzontale sinistro

Osserviamo che il grafico di una funzione può avere contemporaneamente un asintoto orizzontale destro e sinistro distinti tra loro, in questo caso i due limiti saranno distinti:

Per determinare gli eventuali asintoti orizzontali di una funzione bisogna calcolare i limiti per x che tende a più e a meno infinito: il valore l del limite è l'ordinata della retta asintotica

. È necessario quindi che il dominio della funzione sia illimitato e la funzione non sia periodica. Questo significa che se una funzione ha per dominio un intervallo chiuso e limitato sicuramente non ammette asintoti orizzontali.

Asintoto obliquo

Quando il grafico della funzione non ammette asintoti orizzontali, può ammettere asintoti obliqui, cioè rette di equazione .
Si dice che una retta di equazione con , è un asintoto obliquo per il grafico della funzione se:

Inoltre:

• se la condizione è soddisfatta solo per x che tende a più infinito, parliamo di asintoto obliquo destro;
• se la condizione è soddisfatta solo per x che tende a meno infinito allora si parla di asintoto obliquo sinistro.

Facciamo riferimento alla figura sopra e ragioniamo come segue:
detto P un punto del grafico della funzione e detto Q il punto della retta

con la stessa ascissa di P, la definizione data equivale ad imporre che la distanza tra P e Q tenda a zero quando .
Se il grafico della funzione ha un asintoto obliquo di equazione y=mx+q, con , i due parametri m e q, rispettivamente coefficiente angolare e ordinata all’origine della retta, sono dati dai seguenti limiti:

Gli eventuali asintoti per il grafico di una funzione devono essere ricercati agli estremi del dominio D della funzione.
In particolare, agli estremi finiti del dominio che non appartengono a D potrebbero esistere asintoti verticali, mentre agli estremi infiniti del dominio potrebbero esistere asintoti orizzontali oppure asintoti obliqui. Vediamo nel paragrafo successivo, attraverso un esempio numerico, come determinare le equazioni degli asintoti di una funzione.

Per ulteriori approfondimenti sull’asintoto obliquo vedi anche qui

Applicazione numerica sugli asintoti

Determinare gli eventuali asintoti per la funzione di equazione:

Svolgimento
Riscriviamo la funzione come segue

La prima operazione da fare è sempre la ricerca del dominio, perché gli asintoti, eventuali, vanno ricercati agli estremi del dominio è in prossimità dei punti di discontinuità.
La funzione è una razionale fratta, e l’unica condizione va posta al denominatore. Quindi il dominio è:

.
è l’equazione dell’asse delle ordinate, e lo zero è un punto di accumulazione per la funzione.
L’asse y è potenziale candidato ad essere asintoto verticale. Per verificarlo bisogna calcolare il limite destro e il limite sinistro della funzione per x che tende a zero; se entrambi o almeno uno dei due è infinito allora l'asse delle ordinate è un asintoto verticale. Calcoliamo allora i limiti:

Quando la variabile x si avvicina a zero dalla sinistra ovvero per valori di ascissa negativa, la funzione diverge negativamente cioè tende a meno infinito. Graficamente la funzione si sta avvicinando sempre più all’asse delle ordinate in basso.

Quando la variabile x si avvicina a zero dalla destra ovvero per valori di ascissa maggiori di zero, il ramo della funzione diverge positivamente.
Graficamente la funzione si sta avvicinando sempre più all'asse delle ordinate in alto.
Il dominio di questa funzione è illimitato, pertanto la funzione potrebbe avere degli asintoti orizzontali oppure obliqui.
Proviamo a cercare gli asintoti orizzontali, calcolando i limiti agli estremi del dominio:

La funzione diverge ancora quindi non ci sono asintoti orizzontali.
Cerchiamo allora eventuali Asintoti obliqui, calcoliamo il limite per trovare il coefficiente angolare m, e il limite per trovare q.

Il coefficiente angolare vale 1 e l'ordinata all'origine è nulla. La retta asintotica è la bisettrice del primo e terzo quadrante di equazione:

In figura è riportato il grafico della funzione e i due asintoti quello verticale coincidente con l’asse delle ordinate e quello obliquo coincidente con la bisettrice del primo e terzo quadrante.