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Asintoti di una funzione


Definizione

Il termine asintoto è utilizzato in matematica per denotare una retta che si avvicina indefinitamente alla funzione senza mai toccarla, per questo si dice anche che l'asintoto è la tangente all'infinito della funzione.

Possiamo classificare tre tipi di asintoti:

Asintoti Verticali

Si dice che la retta

[math]x = c[/math]
è un asintoto verticale per la funzione
[math]y = f (x)[/math]
se esiste un punto singolare
[math]c[/math]
(punto di accumulazione escluso dal dominio) in cui:


[math]\lim_{x\to c^-} f(x)=\pm\infty[/math]
oppure
[math]\lim_{x\to c^+} f(x)=\pm\infty[/math]


La curva si accosta sempre più ad una retta di equazione x=c , pertanto è il valore

[math]c[/math]
(se esiste) da determinare. Per quanto detto una funzione che non ha punti singolari non può avere asintoti verticali.

Asintoti Orizzontali

Si dice che la retta

[math]y = k[/math]
è un asintoto orizzontale per la funzione
[math]y =f (x)[/math]
in un insieme illimitato se si verifica una delle seguenti condizioni:


[math]\lim_{x\to -\infty} f(x)=k[/math]
oppure
[math]\lim_{x\to +\infty} f(x)=k[/math]


[math]k[/math]
è un numero reale. La curva si accosta sempre più ad una retta di equazione
[math]y=k[/math]
,e per conoscere la retta occorre determinare
[math]k[/math]
.


Se si effettua il limite per x tendente verso

[math]−\infty[/math]
si parla di Asintoto Orizzontale Sinistro (A.O.S.), se si effettua il limite per x tendente verso
[math]+\infty[/math]
si parla di Asintoto Orizzontale Destro (A.O.D.). I due asintoti possono coincidere (A.O.).


Asintoti Obliqui

Data una funzione

[math]y=f(x)[/math]
in un insieme illimitato se calcolato il limite per
[math]x[/math]
che tende ad infinito si verifica

[math]\lim_{x\to \infty} f(x)=\infty[/math]

Può esistere un asintoto obliquo.

Esiste un asintoto obliquo se il grafico della funzione si accosta (quando

[math]x[/math]
tende a più o meno infinito) a quello di una retta di equazione
[math]y=mx+q[/math]
(dove
[math]m \not= 0[/math]
, altrimenti si tratterebbe di un asintoto orizzontale). Bisogna quindi determinare i valori
[math]m[/math]
(coefficiente angolare) e
[math]q[/math]
(ordinata all’origine).


Si ha

[math]m=\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}\not=0,\ \infty[/math]

[math]q=\lim_{x\to\infty}[f(x)-mx]\not=\infty[/math]


La retta

[math]y=mx+q[/math]
è un Asintoto Obliquo.

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