Asintoti di una funzione

Asintoti di una funzione

Definizione

Il termine asintoto è utilizzato in matematica per denotare una retta che si avvicina indefinitamente alla funzione senza mai toccarla, per questo si dice anche che l'asintoto è la tangente all'infinito della funzione.

Possiamo classificare tre tipi di asintoti:

Asintoti verticali

x = c

Si dice che la retta x = c è un asintoto verticale per la funzione y = f(x) se esiste un punto singolare (punto di accumulazione escluso dal dominio) in cui:

$lim\; f(x)\; =\; \pm \infty$ oppure $lim$_{x → c⁺} f(x) = ±∞ oppure $lim$_{x → c⁻} f(x) = ±∞.

La curva si accosta sempre più ad una retta di equazione x = c, pertanto c è il valore (se esiste) da determinare. Per quanto detto una funzione che non ha punti singolari non può avere asintoti verticali.

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Asintoti orizzontali

Si dice che la retta y = k è un asintoto orizzontale per la funzione y = f(x) in un insieme illimitato se si verifica una delle seguenti condizioni:

$lim$_{x → +∞} f(x) = k oppure $lim$_{x → −∞} f(x) = k.

k è un numero reale. La curva si accosta sempre più ad una retta di equazione y = k, e per conoscere la retta occorre determinare k.

Se si effettua il limite per x tendente verso −∞ si parla di Asintoto Orizzontale Sinistro (A.O.S.), se si effettua il limite per x tendente verso +∞ si parla di Asintoto Orizzontale Destro (A.O.D.). I due asintoti possono coincidere (A.O.).

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Asintoti obliqui

Data una funzione y = f(x) in un insieme illimitato, se calcolato il limite per x che tende ad infinito si verifica $lim$_{x → +∞} f(x) = ∞.

Può esistere un asintoto obliquo.

Esiste un asintoto obliquo se il grafico della funzione si accosta (quando x tende a più o meno infinito) a quello di una retta di equazione y = mx + q (dove m ≠ 0, altrimenti si tratterebbe di un asintoto orizzontale). Bisogna quindi determinare i valori m (coefficiente angolare) e q (ordinata all'origine).

$m\; =\; lim$_{x → +∞} f(x)/x

Si ha m con m ∈ ℜ e m ≠ 0 (ovvero un numero reale diverso da zero).

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$q\; =\; lim$_{x → +∞} [f(x) − mx]

con q ∈ ℜ.

y = mx + q

La retta è un Asintoto Obliquo.

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