Classificazione delle quadriche non degeneri

Classificazione delle quadriche non degeneri

Definizione di quadrica non degenere in E^3
Una quadrica non degenere Q di E^3 si dice:
(a) paraboloide se π∞ `e tangente a Q (= la conica impropria Q∞ `e una conica degenere del piano improprio)
(b) ellissoide se π∞ `e esterno a Q (= la conica impropria Q∞ `e una conica non degenere ma vuota del piano improprio)
(c) iperboloide se π∞ `e secante Q (= la conica impropria Q∞ `e una conica non degenere e non vuota del piano improprio)
Osservazione: I paraboloidi e gli iperboloidi sono sempre quadriche reali, mentre gli ellissoidi possono essere reali o immaginari.
Osservazione: Se A `e un discriminante della quadrica (non degenere) Q, il minore M00 `e un discriminante della conica impropria Q∞.
Teorema di classificazione
Sia Q una quadrica non degenere di E^3 avente, rispetto al riferimento cartesiano R, matrice associata A ∈ S4(R) (con det A 6= 0). Si ha che:
(a) Q `e un paraboloide se e soltanto se A00 = 0;
(b) Q `e un ellissoide se e soltanto se M00 `e definita
(c) Q `e un iperboloide se e soltanto se A00 diverso 0 e M00 non `e definita.
Mutua posizione piano/quadrica
Definizione
Sia Q una quadrica non degenere di E^3 e π un piano di E^3 . Si dice che:
(a) π `e tangente a Q se Q ∩ π `e una conica degenere;
(b) π `e secante Q se Q ∩ π `e una conica non degenere reale;
(c) π `e esterno a Q se Q ∩ π `e una conica (non degenere) vuota.
Osservazione: Se il piano π `e tangente a Q, allora la conica (degenere)
intersezione Q ∩ π ha rango 2 : il suo supporto `e pertanto costituito da un solo punto o dalla unione di due rette distinte.