Iperbole

L’IPERBOLE

Definizione: l’Iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la differenza

delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.

Dimostrazione:

| |

´ ´

− =2

PF PF a

2 1

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´

( )

− =2 > − =2 >

PF PF a se PF PF ; PF PF a se PF PF

1 2 1 2 2 1 2 1

√

´ 2 2

( ) ( )

= +

PF x−c y−O

1 √

´ 2 2

( ) ( )

= +c +

PF x y−O

2

Quindi: √ √

2 2

2 2

sostituiamo nella equazione iniziale: ( ) ( )

−c + − +c + =2

x y x y a

√ √

2 2 2 2 2 2

sviluppiamo i quadrati sotto radice: +c −2 + =2 +c +

x cx y a+ x 2 cx+ y

eleviamo tutto alla seconda:

√

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

+ −2 =4 + +c + + + +2 +

x c cx+ y a x 2 cx+ y 4 a x c cx y

√

2 2 2 2

semplifichiamo i termini uguali: −4 −4 =4 +c +2

cx a a x cx+ y

√

2 2 2 2

dividiamo per -4: +a =−a +c + +

cx x 2cx y

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

eleviamo tutto alla seconda: + +2 + +2 +a

a c x a cx=a x a c a cx y

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

semplifichiamo e raccogliamo: −a −a =a −a

c x y c

2 2 2 2 2 2

Essendo , lo possiamo sostituire con per semplificare, quindi

−a > −c =b

c 0 b a

2 2

. Sostituiamo e poi dividiamo per :

a b 2 2 2 2 2 2

−a =a

b x y b

2 2

x y ← EQUAZIONE DELL’IPERBOLE

− =1

2 2

a b

L’iperbole è una curva simmetrica rispetto all’asse delle x, rispetto all’asse delle y e

all’origine, O(0; 0). Infatti:

Simmetria asse x:

2

2 2 2

(− )

y

x x y

− =1, − =1

y →− y 2 2 2 2

a b a b

Simmetria asse y:

2 2 2 2

(−x ) y x y

− =1, − =1

x →−x 2 2 2 2

a b a b

Simmetria O(0; 0):

2 2

{ 2 2

(−x ) (− )

y x y

x →−x − =1, − =1

2 2 2 2

y →− y a b a b

Per disegnare un’ellissi servono due condizioni, perchè ci sono 2 costanti.

( )

2 2 2 2 2

+

x y b y a ( )

2 2 2 2 2

⇒ ⇒

=1+ =a = +

x x b y

2 2 2 2

a b b b

2

Poniamo :

x ≥ 0

2

a ( )

2 2

+

b y è di sicuro ≥ 0

2

b

Quindi la x esiste per ogni y

.

Seguiamo lo stesso procedimento per la y:

( )

2 2 2 2 2

−a

y x x b ( )

2 2 2 2 2

⇒ ⇒

= −1 =b = −a

y y x

2 2 2 2

b a a a

2

Poniamo :

y ≥ 0

2 2

b b

( ) ( )

2 2 2 2

⇒ ∪

−x −a ←a

a ≥ 0 è di sicuro ≥ 0 ; x ≥ 0 per x x> a

2 2

a a

Quindi la y non esiste se x è compresa tra –a e a .

Ora consideriamo l’equazione che rappresenta una coppia di rette passanti per l’origine

O(0; 0):

2 2

x y

− =0

2 2

a b

Man mano che ci si sposta verso valori più grandi, queste due rette si comportano come

l’iperbole. Questo avviene perchè aumentando i valori delle variabili x e y, il fattore 1

dopo l’uguale influisce sempre di meno e quindi le due equazioni, dell’iperbole e delle

due rette, tenderanno ad assumere gli stessi valori. Scomponendo l’equazione delle due

rette come differenza di quadrati si ottengono le due rette:

b

y=± x

a

Queste rette sono i due asintoti

dell’iperbole. Man mano aumenta il valore

della x, la distanza tra un punto della curva e

l’asintoto diminuisce, ma non arrivano mai a

intersecarsi. La curva all’infinito si comporta

come una retta, essendo distante

dall’asintoto circa 0.

Nel caso in figura i fuochi sono sull’asse delle

x. =(±

F c ;O)

F e F sono i due fuochi e .

1 2 1,2

√ 2 2

+b

c= a b

Il Vertice è il punto dove l’iperbole interseca l’asse. Se i fuochi sono sull’asse delle x,

a

è il semiasse non traverso perchè l’iperbole non interseca l’asse delle y e è l’asse

traverso. 2 2

y x

− =1 a

Se i fuochi sono sull’asse delle y , l’iperbole è , è l’asse non traverso e

2 2

b a

b è l’asse traverso.

a=b

Se , l’iperbole è EQUILATERA.

2 2

x y 2 2 2

⇒

− =1 − =a

x y

2 2

a b

In questo caso gli asintoti diventano le bisettrici

degli assi: