Polinomi e frazioni algebriche: regole e teoremi fondamentali

In quest'appunto troverai un'introduzione generale sui polinomi, con un focus sulle principali definizioni, formule e teoremi utilizzati per lo svolgimento di equazioni ed espressioni.

Cosa sono i polinomi e come si classificano

Un polinomio è una somma algebrica di monomi non simili.

I monomi sono delle quantità formati da una parte letterale e una parte numerica: se due monomi condividono la stessa parte letterale, allora si dicono simili.
Sono esempi di monomi simili i monomi

, mentre i monomi

non lo sono.

I polinomi si possono classificare seguendo due logiche differenti:

• secondo il grado. In questo caso si valuta l'esponente più alto con cui compare l'incognita. Il polinomio
  [math]2x^2+2[/math]
  è un polinomio di grado due
• secondo il numero di monomi non simili che lo compongono. In questo caso è possibile distinguere i binomi, trinomi etc. Per esempio, il polinomio
  [math]2x^2+2x+1[/math]
  è un trinomio, poiché sono presenti tre termini non simili

Cosa significa scomporre un polinomio e quali sono i principali teoremi

significa riscrivere il polinomio come un prodotto tra polinomi di grado inferiore. Secondo la definizione rigorosa, scomporre significa trasformare, se è possibile, il polinomio nel prodotto di due o più polinomi a coefficienti razionale di grado maggiore di zero e inferiore a

, grado del polinomio originale. Questo tipo di approccio può essere utile durante lo svolgimento di equazioni ed espressioni perché potrebbe facilitarne il calcolo.

Il metodo di Ruffini è un metodo di scomposizione che può essere utilizzato su qualsiasi tipo di monomio, purché ci siano le condizioni giuste.
Il teorema di Ruffini afferma che dato un polinomio

di grado ›1 ed un polinomio di grado 1 del tipo

, questi divide il polinomio

se e solo se

. Per definire

bisogna far riferimento al teorema del resto, il quale afferma che dato un polinomio

di grado

ed un polinomio di grado

del tipo

, si ha che il resto della divisione tra i due polinomi è dato da

.

Oltre al metodo di Ruffini, vi sono altre strategie che possono essere adottate qualora si verifichino determinate condizioni. La scomposizione totale, ad esempio, consiste nello scrivere il polinomio dato, come prodotto di un fattore comune a tutti i termini del polinomio per il quoziente che si ottiene dividendo il polinomio dato per questo fattore comune. (In generale il fattore comune è il M.C.D. dei termini del polinomio stesso.).

Ovviamente la scomposizione totale può essere realizzata solo se esiste un fattor comune a tutti i termini del polinomio. Qualora, invece, tale fattore sia presente soltanto per gruppi di termini del polinomio, è possibile prima effettuare una scomposizione parziale e poi una scomposizione totale.

Un'altra soluzione potrebbe essere quella dei prodotti notevoli. La scomposizione mediante i prodotti notevoli si effettua riconoscendo nei polinomi il prodotto notevole di partenza:

• La differenza di due quadrati, si scompone moltiplicando la somma delle basi per la differenza delle basi:
  [math]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/math]
• La differenza di due cubi, si scompone moltiplicando la differenza delle basi per il polinomio dato dal quadrato del primo termine, più il prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo:
  [math]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/math]
• La somma di due cubi, si scompone moltiplicando la somma delle basi per il polinomio dato dal quadrato del primo termine, meno il prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo:
  [math]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/math]
• Il quadrato di un binomio, si riconosce quando nel trinomio compaiono due quadrati e il doppio prodotto delle basi:
  [math]a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2[/math]
• Il trinomio particolare, si scompone individuando due numeri che moltiplicati diano il termine noto, e sommati diano il coefficiente dell’incognita di primo grado. Il trinomio particolare si riconosce poiché il coefficiente dell’incognita al quadrato è 1:
  [math]x^2+sx+p,\quad p=ab,\ s=a+b\ \Rightarrow\ (x+a)(x+b).[/math]
• Il cubo di un binomio si riconosce quando il polinomio è un quadrinomio formato da due cubi e dal triplo prodotte del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo:
  [math]a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3[/math]

Cos'è una frazione algebrica e come si riducono per avere lo stesso denominatore

All'interno di un'equazione potrebbero essere presenti una o più frazioni algebriche: per questo motivo è fondamentale saper riconoscere le frazioni algebriche e saper svolgere le operazioni con esse.
Assegnati due polinomi

e

, con

non nullo, chiamiamo frazione algebrica l’espressione letterale

dove

è il numeratore e

il denominatore.

La somma algebrica di due o più frazioni algebriche, semplificate e ridotte allo stesso denominatore, è una frazione algebrica che ha per denominatore il denominatore comune e per numeratori la somma algebrica dei numeratori.
Così come per le frazioni numeriche, anche le frazioni algebriche possono essere semplificate. La semplificazione di una frazione algebrica si ottiene dividendo numeratore e denominatore per uno stesso polinomio, diverso da

.

Potrebbe essere utile conoscere come ridurre più frazioni algebriche allo stesso denominatore. Per fare ciò bisogna:

• scomporre i termini delle frazioni (se è possibile semplificando)
• determinare il m.c.m. dei denominatori
• dividere il minimo comune multiplo per il denominatore e moltiplicare il risultato ottenuto per il rispettivo numeratore
• le frazione trasformate hanno tutte lo stesso minimo comune multiplo e come numeratore i polinomi ottenuto precedentemente

Per ulteriori approfondimenti sui polinomi vedi anche qui