Definizione ed equazione dell'ellisse

In questo appunto di matematica tratteremo una particolare curva, l’ellisse e la sua equazione e come arrivare a tale equazione noti alcuni dati.

Definizione di ellisse

Chiameremo ellisse il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.
Quindi considerato un generico punto P = (x;y) e chiamati ed i fuochi si ha che:

dove

è la distanza fra i due fuochi
mentre 2a è la somma costante anzidetta.
Si ricordi che a>c perché in un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo.
Infatti affinché tale luogo geometrico esista, è necessario che la costante che indica la somma delle distanze dai fuochi ed di un punto P = (x;y) appartenente all'ellisse, sia maggiore della lunghezza del segmento , detta distanza focale. Infatti, qualunque sia il punto del piano P = (x;y), per la disuguaglianza triangolare deve risultare:
La definizione data per l’ellisse non esclude l'eventualità che i fuochi siano coincidenti.
In tal caso l'osservazione fatta sulla condizione di esistenza del luogo geometrico è superflua, poiché qualunque numero reale positivo si scelga come costante per la somma, esso risulterà certamente maggiore di .
In questo caso il luogo geometrico si riduce ad una circonferenza, visto che esso è composto da quei punti tali che il doppio della distanza da un punto fisso sia costante; è facile verificare questa tesi anche adoperando il metodo di costruzione dell’ ellisse sposto di seguito.
Ne risulta che la circonferenza non è che una particolare ellisse.

Ellisse del giardiniere

Esiste un modo semplice per costruire fisicamente un'ellisse. Tale metodo ha anche il pregio di illustrare chiaramente in maniera visiva il significato della definizione data precedentemente.
Si immagini di fissare sul terreno due punti ed , per esempio utilizzando dei paletti, e di legare le due estremità di una fune a detti punti; la lunghezza della fune deve risultare maggiore rispetto alla distanza tra ed .
Con un terzo paletto (che rappresenta il punto P precedentemente definito) si tenda adesso la corda: si nota che il punto P non è fisso, ma può essere spostato in varie posizioni avendo sempre cura di tenere la fune tesa. Se si fa in modo che il punto P occupi tutte le posizioni possibili, esso traccerà sul terreno una linea curva che racchiude i punti ed : la curva geometrica ottenuta è un’ellisse.
Infatti comunque si prenda un punto appartenente a detta curva è chiaro che la somma delle sue distanze da ed è sempre uguale alla lunghezza della fune, quindi costante per ogni punto.
Tale costruzione è denominata "ellisse del giardiniere" poiché essa consente, con mezzi di fortuna, di tracciare nel terreno aiuole di forma perfettamente ellittica.

Equazione dell'ellisse riferita ai propri assi

Si vuole determinare l’equazione cartesiana dell’ellisse, ossia un’equazione in due variabili che risulti soddisfatta dalle coordinate di tutti e soli i punti della curva considerata.
Considerato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, si fissino i fuochi ed sull’asse delle x e assumiamo l’asse y passante per il punto medio del segmento , punto in cui fisseremo l’origine O del sistema di riferimento. In tale caso avremo che le coordinate dei fuochi sono espresse da:

Affinché il punto P = (x;y) appartenga all’ellisse deve soddisfare la condizione

In base alla definizione di distanza fra due punti si ha che:

per cui si ottiene

Elevando entrambi i membri al quadrato

elevando ancora al quadrato

posto per brevità

dove b è un numero reale positivo in quanto a>c si ottiene

da cui si ottiene la forma generale

la precedente viene chiamata equazione canonica o normale dell’ellisse.

Proprietà dell’ellisse

Una prima proprietà dell’ellisse è che il suo grafico è simmetrico rispetto agli assi coordinati.
L’equazione canonica dell’ellisse contiene solo potenze pari della x e della y, conseguentemente se la coppia la soddisfa, sarà soddisfatta anche dalla coppia :

se il punto

appartiene all’ellisse lo stesso vale per il punto che è il simmetrico di P rispetto all’asse delle ascisse. Per lo stesso motivo è simmetrica anche rispetto all’asse delle ordinate.
Per tale motivo i due assi coordinati sono chiamati assi dell’ellisse.
Conseguentemente alla simmetria dell’ellisse rispetto agli assi ne deriva che è simmetrica rispetto all’origine degli assi che sono fra loro perpendicolari e l’origine del sistema di riferimento viene chiamato centro dell’ellisse.
L’ellisse è inscritta in un rettangolo definito dalle rette di equazioni x = ± a ed y = ± b, da cui deriva che

I punti di intersezione dell’ellisse con gli assi coordinati sono
(± a; 0) intersezione con l’asse x
(0; ± b) intersezione con l’asse y
tali punti vengono chiamati vertici.
La distanza fra i punti di intersezione dell’ellisse con l’asse x, pari a 2a, viene definito asse maggiore, mentre la distanza fra i punti di intersezione dell’ellisse con l’asse y, pari a 2b, viene definito asse minore.
Conseguentemente a viene chiamato semiasse maggiore e b semiasse minore; i fuochi si trovano sempre sull’asse maggiore che viene anche chiamato asse focale.
Una grandezza che caratterizza l’ellisse è l’eccentricità, definita come:

dove

se e = 0 l’ellisse è una circonferenza.
L’eccentricità è una misura di quanto l’ellisse per la sua forma più o meno allungata, differisce dalla circonferenza.

Come si ricava l’equazione dell’ellisse

L’equazione dell’ellisse

dipende dai parametri a e b, quindi per determinare l’equazione di una particolare ellisse servono due condizioni tali che ci permettano di impostare un sistema di due equazioni in due incognite le cui soluzioni sono tali parametri.
Escluso il caso in cui sono note le lunghezze dell’asse maggiore e di quello minore, si possono avere i seguenti casi:

• equazione dell’ellisse noti due suoi punti;
• equazione dell’ellisse noto un suo punto ed uno dei due fuochi;
• equazione dell’ellisse noto uno dei due fuochi e la sua eccentricità;
• equazione dell’ellisse noto un suo punto e la sua eccentricità.

Dalle condizioni precedentemente elencate ne possono conseguire altre.

Per ulteriori approfondimenti sull'ellisse vedi anche qua