Rappresentazione delle funzioni seno coseno integrale Fresnel

In questo appunto di matematica si descrive una applicazione alla fisica delle onde. Parleremo in generale di interferenza e diffrazione, della sinusoide e della cosinusoide e della rappresentazione nello spazio delle funzioni seno e coseno.

Interferenza e diffrazione

Gran parte dei colori che vediamo ogni giorno può essere spiegata in termini di assorbimento e riflessione: una macchina dei pompieri assorbe la luce verde e riflette la luce rossa; un prato erboso assorbe la luce rossa e riflette la luce verde, e così via.

I colori cangianti invece, come ad esempio quelli delle piume di un pappagallo, sono creati attraverso meccanismi fisici differenti. Questi meccanismi noti come interferenza e diffrazione, non possono essere compresi utilizzando la sola ottica geometrica, perché hanno origine nella natura ondulatoria della luce.
Un aspetto peculiare del comportamento delle onde è la sovrapposizione, nella quale lo spostamento risultante, causato dalla combinazione di onde, è la somma algebrica degli spostamenti causati da ogni singola onda. Quando le onde si sommano generando uno spostamento maggiore, si parla di interferenza costruttiva, se lo spostamento risultante è minore, si parla di interferenza distruttiva. La luce in alcune circostanze evidenzia un comportamento ondulatorio e anch'essa può mostrare effetti di interferenza e il conseguente aumento o diminuzione di luminosità. L’interferenza è evidente solo se sono rispettate determinate condizioni. Nel caso della luce ad esempio essa deve essere monocromatica, cioè deve essere costituita da un singolo colore e quindi da una singola frequenza. Affinché due o più sorgenti di luce diano luogo a interferenza, è necessario che mantengano reciprocamente una relazione di fase costante, cioè devono essere sorgenti coerenti. Viceversa se sono sorgenti incoerenti le fasi relative variano casualmente nel tempo e non evidenziano una figura di interferenza distinguibile. Ad esempio le lampadine a incandescenza oppure a fluorescenza sono sorgenti incoerenti, mentre i laser emettono luce monocromatica e coerente.

Per ulteriori approfondimenti sui colori della luce vedi qua

Figure di interferenza frange luminose e frange scure

La caratteristica fondamentale che determina se le onde interferiscono in maniera costruttiva o distruttiva e la loro fase relativa.
Gli effetti dell’interferenza della luce sono mostrati chiaramente nell’esperimento di Young della doppia fenditura, nel quale la luce che attraversa due fenditure forma frange di interferenza luminose e scure.
Le frange luminose si presentano per valori degli angoli

che soddisfano la seguente relazione:

Con

In cui:

• [math]\lambda[/math]
  è la lunghezza d’onda della luce;
• [math]d[/math]
  è la distanza tra le fenditure.

Le frange scure si presentano tra gli angoli

che soddisfano la seguente relazione:

Sempre con:

Diffrazione da una singola fenditura

. Questo fenomeno è noto come diffrazione
Quando una luce in monocromatica di lunghezza

attraversa una singola fenditura di apertura W, forma una figura di diffrazione di frange luminose alternate a frange scure; la condizione che determina la posizione delle frange scure nella diffrazione da una singola fenditura è ancora una volta espressa da una funzione sinusoidale:

con:

Le frange di interferenza luminose sono situate circa a metà strada fra le frange scure successive; la frangia luminosa centrale ha approssimativamente una larghezza doppia delle altre frange luminose.
In accordo col principio di Huygens-Fresnel, dopo che la luce ha attraversato una fenditura, ogni punto della fenditura si comporta come se fosse a sua volta una sorgente di onde circolari e queste onde interagiscono tra loro mediante il fenomeno dell’interferenza. La diffrazione `e in effetti l’interferenza tra le diverse parti dell’onda che avviene dopo che l’onda stessa ha incontrato un ostacolo.

Per ulteriori approfondimenti sulla diffrazione della luce vedi qua

Cosa è il reticolo di diffrazione

Un reticolo di diffrazione è costituito da un gran numero di fenditure attraverso le quali può passare un fascio di luce. In questo tipo di figura ci sono dei massimi principali prodotti che si presentano agli angoli che soddisfano la seguente condizione:

Sempre con:

In questa espressione i parametri hanno i seguenti significati:

• [math]d[/math]
  è la distanza tra le fenditure successive;
• [math]\lambda[/math]
  ė lunghezza d’onda della luce.

, come ad esempio un CD o l’ala di una farfalla. Quando la luce bianca illumina un reticolo di riflessione, i differenti colori della luce sono riflessi a differenti angoli, gli effetti di colore prodotto in questo modo sono indicati come iridescenza.

Onde e particelle un tema della fisica moderna

Siamo soliti pensare alle onde e alla materia come a entità distinte allora vediamo cosa sono le onde e come riconoscerle. Un’onda e una perturbazione che si muove. Alcune onde si propagano attraverso un mezzo che può essere l’acqua o l’aria, altre invece, come la luce, possono propagarsi anche nel vuoto. A volte le onde trasportano energia, anche se di solito le particelle che compongono un’onda si limitano ad oscillare avanti e indietro al passaggio dell'onda stessa punto la velocità di un'onda è determinata dalle proprietà del mezzo in cui essa si propaga.
Quali sono le proprietà condivise da tutte le onde?
Tutte le onde possono sovrapporsi e quindi dare luogo a interferenza
Tutte le onde sono soggette a diffrazione quando incontrano un ostacolo vengono deflesso punto la diffrazione è una conseguenza del modo in cui le onde si propagano e interferiscono.
Le onde del mare che oltrepassano le aperture tra i frangiflutti sono soggette a diffrazione e interferenza.
Un’onda stazionaria si forma ogni volta che onde identiche viaggiano in direzioni opposte o quando un'onda si riflette su se stessa per osservarla basta guardare una tazza da caffè che vibra.
Anche la luce è un'onda elettromagnetica dalla duplice natura.

Per ulteriori approfondimenti sulla natura corpuscolare della luce vedi qua

Sorgenti oscillanti e onde periodiche

Una sorgente oscillante emette impulsi e quindi questa perturbazione si ripete nel tempo e nello spazio con regolarità e consente di definire alcune grandezze che caratterizzano l’onda stessa:

• [math]T[/math]
  : il periodo
• [math]\lambda[/math]
  : la lunghezza d’onda
• [math]f[/math]
  : la frequenza
• [math]\omega[/math]
  : la pulsazione.

Un'onda si dice armonica quando la grandezza che la definisce oscilla di moto armonico. Si tratta della onda periodica più semplice e la curva che rappresenta la sua propagazione nel tempo è una cosinusoide. La legge delle onde armoniche si può scrivere sia in un punto fissato sia in un istante fissato.

Per ulteriori approfondimenti sulle caratteristiche delle onde vedi qua

Integrali di Fresnel seno e coseno

La forma dell’ostacolo influenza la figura formata dalle frange su uno schermo lontano e la derivazione del profilo di intensità delle frange richiede il calcolo di un integrale noto come integrale di Fresnel Kirchhoff.
Per studiare i fenomeni della diffrazione l'ingegnere francese Fresnel introdusse due funzioni speciali trascendenti della funzione seno e coseno:

Considerandoli come funzioni elementari questi integrali non si possono calcolare in forma chiusa tranne dei casi particolari, e inoltre sono integrali convergenti all’infinito.
L’integrale definito associa ad una funzione l’area sottesa dal grafico su un determinato intervallo e la sua risoluzione passa sempre prima per il calcolo di un integrale indefinito e questo a sua volta individua le primitive di una funzione. La funzione integranda, quella sotto il simbolo di integrale rappresenta una derivata. Ricordiamo infatti che

è la derivata di seno di x e

è quella di

.
La funzione integrale relativa alla somma degli integrali di Fresnel è la seguente:

Di questa funzione è possibile una rappresentazione grafica mediante curve di livello.